1 IL FILTRO DI KALMAN Il filtro di Kalman discreto si applica a sistemi nella forma: , in cui: a) gli ingressi w(k) e v(k) sono rumori bianchi gaussiani , a valor medio nullo e fra loro incorrelati: e con b) lo stato iniziale x(0) è una variabile aleatoria gaussiana , scorrelata con v(k) e w(k): e c) C(k) ha rango pieno per ciascun k , cioè non capita mai che , date due uscite ed , si abbia dipendenza lineare della prima dalla seconda (altrimenti uno dei sensori di uscita rileverebbe una variabile già nota e l’apparato di misura sarebbe ridondante). Si considera questa classe di problemi perché se il rumore che perturba la grandezza è gaussiano, la stima ottima in senso assoluto è lineare nelle osservazioni. In particolare, se come funzionale da minimizzare nel processo di stima si sceglie ( che coincide con la varianza dell’errore di predizione nel caso di stimatori centrati , come vedremo essere il filtro di Kalman ) , la stima ottima (che prende quindi il nome di stima a minima varianza ) è il valor medio dello stato condizionato rispetto alle osservazioni effettuate ( teorema fondamentale della stima a minima varianza ) , che è lineare nelle osservazioni. Questo risultato è di grande valore concettuale, ma non si può tradurre in un algoritmo per le difficoltà nel calcolo del valore medio condizionato (il filtro di Kalman supplisce a questa carenza) . 1.0 PREREQUISITI PER IL CALCOLO DEL FILTRO DI KALMAN 1.0.1 IL LEMMA DELLE PROIEZIONI ORTOGONALI Dato uno spazio di Hilbert X, un suo sottospazio approssimante ed un elemento da stimare, si ha che se e solo se è tale che . In altre parole la migliore approssimazione di x è la sua proiezione ortogonale su Y. Nel caso del filtro di Kalman questo lemma si particolarizza come segue: a) X è lo spazio delle variabile aleatorie a valore quadratico medio finito (infinito-dimensionale), cui appartiene lo stato da stimare (è una variabile aleatoria perché dipende dal rumore w(k) ) e in cui il prodotto interno è definito come b) ad ogni passo k lo spazio approssimante è , di dimensione k*m (dove m è la dimensione dei vettori di uscita). Detta quindi si ha . Questo spiega la crescita dello spazio approssimante con le osservazioni e quindi il miglioramento della stima c) il lemma chiede dunque che l’errore sia incorrelato con ciascuna componente del vettore delle osservazioni ( ) Il lemma assicura che la stima ottima sia a minima varianza ed è infatti il punto di partenza per il calcolo delle equazioni del filtro di Kalman. Questo assicura che la stima ottenuta mediante il filtro sia a minima varianza. 1.1 CALCOLO DELLA PRIMA EQUAZIONE DEL FILTRO DI KALMAN L’equazione della stima del filtro si ricava definendo una base ortonormale nel sottospazio approssimante e applicando il lemma delle proiezioni ortogonali : . A questo punto si moltiplicano entrambi i membri per , si somma rispetto ad i e si tiene conto del fatto che in quanto elemento del sottospazio approssimante: (*). Per l’ortonormalità della base () il secondo termine della precedente espressione è (**) e ricorrendo all’equazione dinamica per l’espressione di x(k) si ha quindi: . Poiché in ci sono i rumori si ha che per i=1..k-1 , e riconoscendo che l’espressione finale della stima può essere messa in forma ricorsiva : ,ovvero . E’ la forma “primitiva” dell’equazione della stima, in cui il processo di innovazione è espresso in una forma inutilizzabile per scopi implementativi : si definisce allora il guadagno del filtro e si perviene alle altre equazioni , che in questo modo sono in forma direttamente implementabile come algoritmo. 1.1.1 LE EQUAZIONI DEL FILTRO DI KALMAN Le equazioni del filtro vanno implementate nel seguente ordine: a) è la prima equazione a dover essere implementata perché utilizza solo informazioni relative all’iterazione precedente. Vedremo che corrisponde alla matrice di covarianza dell’errore di predizione ad un passo. b) è l’equazione del guadagno, cioè una matrice che pesa il contributo del processo di innovazione per passare dalla previsione ottima alla stima al passo attuale. Viene ricavata imponendo . Richiede che il termine [..] sia invertibile, che a sua volta dipende dal fatto che P(k+1|k) e R(k+1) siano positive definite. c) E’ l’equazione della stima, che si calcola come mostrato poco sopra. d) . E’ l’equazione della covarianza dell’errore di stima , che è per definizione , dove l’errore di stima è . Tale matrice è di importanza fondamentale perché fornisce informazioni sull’entità del minimo raggiunto dal funzionale di costo: si ha infatti che . L’algoritmo è inizializzato con le condizioni , , in modo che la stima sia a minima varianza già dal passo 0 ( si ricorda infatti che la stima a minima varianza è restituita dal valore medio condizionato e ) . L’algoritmo fornisce quindi una stima ottima già dal primo passo e non solo asintoticamente ottima : si tratta quindi di uno strumento molto potente e l’abilità del progettista sta nel ricondurre un qualsiasi problema di stima ad un problema di stima dello stato di un sistema lineare. Gli svantaggi del filtro di Kalman sono: 1) numerose condizioni e informazioni a priori richieste; in caso di informazioni incerte si possono osservare due fenomeni: a. una divergenza della P(k|k) (grosse incertezze sulla stima); questo problema si risolve facendo in modo che Q(k) non diventi mai troppo piccola. b. una convergenza a zero di P(k+1|k) e conseguentemente del guadagno (la stima al passo k+1 dipende molto dalla stima al passo precedente, cioè dalle condizioni iniziali, e poco dalle osservazioni). Si può ovviare in parte al secondo problema scegliendo come covarianza iniziale con sufficientemente grande: questo provoca un guadagno iniziale consistente che permette di “dimenticarsi” prima possibile delle condizioni inziali. 2) complessità computazionale, che è del tipo . Se è richiesta una elaborazione in linea si può ovviare a questo problema implementando l’equazione c) online ad ogni misura acquisita e le restanti fuori linea (dipendono solo dalle informazioni statistiche del sistema)
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