1.2 I predittori basati sul filtro di Kalman
1.2.1 Predittore ottimo a minima varianza
ad 1 passo
La predizione a minima varianza
per l’istante successivo è la quantità che minimizza il funzionale:
 .
Si ottiene dalla stima al passo k, ricordando che
la stima ottima a minima varianza coincide col
valore medio condizionato
da cui, ricordando che w(k) è scorrelato
con le osservazioni ( y(k) dipende da x(k) che a sua volta dipende da w(k-1) e dai rumori
precedenti ) e a valor medio nullo si ha
 (*) .
In altre parole la previsione ottima coincide con
l’evoluzione libera della stima filtrata: in mancanza di osservazioni oltre l’istante k l’informazione migliore (ottima) sullo
stato del sistema si ottiene lasciando evolvere liberamente la stima. In base
all’espressione appena trovata per la predizione ottima ad un passo , l’equazione della stima nel filtro di Kalman può essere riscritta in termini della previsione
come:
L’errore di previsione è :
perciò la matrice di covarianza dell’errore di predizione ad un passo ,
ricordando che i prodotti spuri sono nulli, è la seguente:
Volendo scrivere
la matrice di covarianza dell’errore di predizione in termini di  basta ricordare che:
da cui:
La matrice di covarianza deve
essere simmetrica , pertanto devono esserlo i tre
addendi che compongono l’espressione precedente : anche  deve essere
simmetrica e quindi si può scrivere come
1.2.1.1 Predittore ad un passo per sistemi con ingresso deterministico
Per quanto visto nel paragrafo precedente, se
nell’equazione dinamica del sistema è presente anche uno stimolo u(i)
questo esce dal valor medio
condizionato (perché deterministico) e l’equazione
della predizione ad un passo diventa:
Ricordando che la stima del
filtro è legata a quella del predittore dalla
relazione :
è ovvio che avendo generalizzato
il predittore si è generalizzato anche il filtro ,
ottenendo così l’equazione della stima del Filtro di Kalman
per sistemi con ingresso deterministico. Tutte le
altre equazioni del filtro di Kalman restano
invariate.
1.2.1.2 Predittore ottimo per sistemi autoregressivi
con rumore bianco
Se anziché nella forma classica in
spazio di stato, vista nel paragrafo 1.1, il sistema con stato da stimare si
presenta sotto forma di serie numerica del tipo:
ci si può ricondurre alla forma in
spazio di stato definendo lo stato esteso :
e l’ingresso esteso:
La prima equazione del sistema esteso restituisce la (a) mentre le altre sono identità:
Ci si è quindi ricondotti ad un’equazione dinamica nella
forma (1) del paragrafo 1.2.1 da cui la predizione ottima è :
1.2.1.3 Predittore ottimo per sistemi autoregressivi con rumore rosa
Se in luogo del rumore bianco w(t) nella (a) si ha un rumore con dinamica autoregressiva
propria (rumore gaussiano rosa) :
allora lo stato esteso va definito
come :
e quindi l’equazione dinamica del
sistema esteso diventa:
Si noti la riga di tutti zeri in corrispondenza di w(t)
che, essendo un rumore bianco, è pari solo a se stesso. Lo stesso vale per le
altre componenti w(t-i), per le quali le equazioni
dinamiche si riducono a identità. Il prezzo da pagare per comprendere anche
il caso di rumore non bianco è costituito dai tempi di calcolo, che crescono
col cubo della dimensione dello spazio di stato.
1.2.2 Predittore ottimo a minima varianza ad l passi
Ricordando che l’evoluzione dello stato è descritto dall’equazione:
dove  è la matrice di evoluzione libera dello stato, mentre  determina gli
effetti del forzamento stocastico , la previsione
ottima ad l passi si ottiene , come la previsione ottima ad un passo ,
calcolando il valore medio condizionato:
La matrice di covarianza
dell’errore di predizione è
in cui i prodotti misti sono nulli
perché i rumori w(j) sono nel futuro rispetto a  , pertanto: 
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