Sintesi diretta di un sistema di controllo a tempo continuo

Sintesi diretta di un sistema di controllo a tempo continuo

I metodi di sintesi per tentativi si possono annoverare fra le tecniche "classiche" dei controlli automatici, orientate ai sistemi a tempo continuo e sviluppate quando le potenze di elaborazione dei calcolatori elettronici erano tali da far preferire strumenti grafici, come la carta di Nichols e il luogo delle radici , ad elevate moli di calcoli. 
Con la maggiore diffusione della progettazione assistita dal calcolatore , e soprattutto con il prevalere dei sistemi a controllo digitale diretto , queste tecniche hanno via via lasciato spazio a tecniche dirette , di carattere meno intuitivo e più algoritmico , come ad esempio il metodo delle equazioni diofantine che vedremo più avanti. Come conseguenza si è notata una maggiore diffusione delle tecniche dirette anche nella sintesi dei sistemi a tempo continuo : ne presenteremo ora una che si può utilizzare sotto opportune condizioni di fisica realizzabilità e che si articola nelle seguenti fasi : 
1) scelta , in base alle specifiche di progetto e alla funzione di trasferimento del processo da controllare , dello schema a blocchi complessivo e della funzione di trasferimento a ciclo chiuso desiderata ( ingresso/uscita e/o disturbo/uscita ) ;
2) calcolo della funzione di trasferimento del controllore G(s) e degli eventuali blocchi aggiuntivi H(s) ( blocco per la reazione dinamica ) o K(s) ( blocco per la compensazione diretta del disturbo ).

Va comunque sottolineato che , mentre la seconda fase è davvero puramente algoritmica, nella prima fase , una volta individuata la struttura della W(s) ( e/o della Wz(s) ) la ricerca dei parametri opportuni che soddisfino le specifiche di progetto può essere effettuata mediante aggiustamenti e verifiche progressive che ricordano molto da vicino la sintesi per tentativi.

Sintesi ad un grado di libertà

Se le specifiche di progetto riguardano esclusivamente il comportamento ingresso uscita , si può utilizzare uno schema a controreazione statica , che per semplicità considereremo unitaria , come quello indicato in figura 1.
Figura 1 : per la sintesi diretta ad un grado di libertà basta un sistema a retroazione statica
Sappiamo che fra funzione di trasferimento I/O a ciclo chiuso e funzione ad anello aperto sussiste la relazione :
, dove si è tenuto conto del fatto che la F(s) ingloba sia la f.d.t. del processo F(s) che quella del controllore G(s):
Il progettista non può agire , in generale , sulla P(s) del processo , e si limiterà quindi al calcolo della G(s) desiderata come :

Sintesi a due gradi di libertà

La G(s) calcolata col metodo precedente determina univocamente il comportamento ingresso uscita del sistema a ciclo chiuso , che sarà caratterizzato dalla funzione di trasferimento :
Se vi sono anche specifiche di progetto sul comportamento disturbo/uscita , ci si può trovare in due situazioni distinte :
  1) la Wz(s) ottenuta soddisfa , casualmente , le richieste sul comportamento rispetto ai disturbi
 
2) la Wz(s) non soddisfa le specifiche richieste. Ovviamente è questa la situazione generale , mentre la 1) è da ritenersi più che altro come un caso fortunato. In questo caso si deve passare dallo schema a retroazione statica ad uno schema più complesso , che fornisca al progettista i gradi di libertà necessari a soddisfare le due richieste indipendenti.
Una possibile soluzione consiste nell'introdurre , sul ramo di reazione , un blocco dinamico caratterizzato dalla f.d.t. H(s) , come indicato nello schema a blocchi di figura 2.
Figura 2 : una possibile soluzione , in presenza di specifiche sul comportamento rumore/uscita , consiste nell'introdurre dinamica sul ramo di reazione
Le funzioni di trasferimento a ciclo chiuso ingresso/uscita e disturbo/uscita , che dovranno essere imposte nella prima fase della sintesi , risultano pertanto :

Nella seconda fase non resta quindi che calcolare il controllore G(s) e il blocco di reazione H(s) che , combinati , danno luogo alla W(s) e alla Wz(s) desiderate:

Una soluzione alternativa consiste invece nell'adottare lo schema ibrido con compensazione diretta del disturbo z(s) , come mostrato in figura 3. La funzione di trasferimento del blocco di compensazione K(s) non entra nella relazione ingresso/uscita ( per la sovrapposizione degli effetti ) , quindi la G(s) si calcola come sopra , mentre per quanto riguarda la funzione di trasferimento disturbo/uscita si ha:
Pertanto , una volta calcolato il controllore a partire dalla W(s) desiderata, si aggiusta K(s) in modo che anche il comportamento rispetto al disturbo sia quello desiderato:

Figura 3 : per introdurre un grado di libertà il progettista può passare ad uno schema ibrido che preveda la compensazione diretta del disturbo

Limiti di applicazione della sintesi diretta

I limiti di questo metodo sono dovuti alla filosofia stessa della sintesi diretta , che agisce sulla funzione di trasferimento a ciclo chiuso senza tener conto delle caratteristiche del processo : è compito del progettista assicurarsi che la W(s) , assegnata per soddisfare le specifiche di progetto , sia compatibile con l'espressione della P(s) che si trova di fronte caso per caso. Nella sintesi per tentativi questo non può accadere perché si progetta "indirettamente" la W(s) , agendo sulla funzione di trasferimento in catena aperta F(s) che contiene al proprio interno la P(s) stessa. 
In termini pratici queste considerazioni danno luogo a due problemi distinti per il progettista:
1) problemi di fisica realizzabilità del controllore G(s)
2) presenza di un sottosistema non osservabile ma instabile ( instabilità interna ) nel sistema a ciclo chiuso , dovuto a cancellazioni di poli a parte reale positiva del processo.
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