Minimalist-F1

Note per l'uso : gli appunti si riferiscono al corso di Analisi Matematica 1 tenuto dal Prof. Bianchini all'Università Politecnica delle Marche ( allora ancora Università di Ancona ) nell'anno accademico 1998/99. Voto conseguito : 30/30. La trattazione consta di due parti : per rendere più scorrevole la lettura in una prima parte sono riassunti gli enunciati di definizioni , teoremi e corollari mentre le dimostrazioni sono raccolte in una seconda parte. Gli appunti online si riferiscono alle prime 45 pagine della prima parte. To be continued...

Pag.1 : Insiemi di numeri : numeri naturali , numeri interi , numeri razionali , numeri reali. Teoria degli insiemi : appartenenza di un elemento ad un insieme , inclusione di un insieme in un altro insieme , inclusione propria e inclusione impropria , uguaglianza fra due insiemi. Operazioni fra gli insiemi : unione di insiemi e intersezioni di insiemi. Proprietà delle operazioni fra insiemi : proprietà commutativa , proprietà associativa , proprietà distributiva.

Pag.2 : Le successioni di insiemi : notazione per indicare l'unione di una successione di insiemi e l'intersezione di una successione di insiemi. Definizione dell'insieme vuoto , insiemi complementari , applicazioni e funzioni su insiemi : insieme dominio , insieme codominio , insieme immagine. Definizione di funziona iniettiva.

Pag.3 : Invertibilità di una funzione iniettiva e definizione della funzione inversa ; definizione di una funzione suriettiva e di una funzione biettiva o corrispondenza biunivoca ; proprietà di una funzione biunivoca : impossibilità della corrispondenza biunivoca fra un insieme finito ed un suo sottoinsieme proprio , definzione di insieme infinito.

Pag.4 : Definizione di funzione identica e di immersione fra insiemi ; definizione di prodotto cartesiano di due insiemi e di grafico di una funzione. Relazioni di equivalenza e classi di equivalenza , proprietà di una relazione di equivalenza : riflessività , simmetria e transitività. Definizione di insieme quoziente e di applicazione canonica.

Pag.5 : Definizione di relazione d'ordine : antisimmetria e transitività ; definizione di insieme totalmente ordinato ; definizione di massimo , minimo , estremo superiore ed estremo inferiore. Definizione di maggiorante e minorante di un insieme , insiemi superiormente limitati ed inferiormente limitati.

Pag.6 : Definizione di gruppo commutativo o gruppo abeliano : proprietà commutativa , proprietà associativa , esistenza dell'elemento neutro rispetto all'applicazione sigma , esistenza dell'elemento opposto o inverso rispetto a sigma. Definizione di corpo commutativo rispetto alle applicazioni somma e prodotto.

Pag.7 : Definizione assiomatica del campo dei numeri reali : proprietà dei numeri reali rispetto alla somma e al prodotto : 1 proprietà commutativa , 2 proprietà associativa , 3 esistenza degli elementi neutri rispetto alla somma e al prodotto , 4 esistenza degli opposti e degli inversi rispetto alla somma e al prodotto , 5 proprietà distributiva , dimostrazione che R è un corpo commutativo con le regole dell'algebra elementare.

Pag.8 : Proprietà dei numeri reali rispetto all'ordinamento naturale : definizione della relazione dell'ordinamento naturale fra a e b mediante appartenenza di a-b ad R+ e dimostrazione che soddisfa le proprietà della relazione d'ordine ( transitività , simmetria , consistenza ). Definizione della funzione valore assoluto.

Pag.9 : La proprietà fondamentale che distingue i numeri reali dai numeri razionali : assioma della completezza. Definizione e notazione per i seguenti insiemi : intervallo aperto , intervallo chiuso , intervallo aperto a destra e chiuso a sinistra , intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra. Il sistema esteso dei numeri reali e proprietà degli elementi +infinito e -infinito. Definizione di intervalli illimitati e relative notazioni.

Pag.10 : Struttura del sistema dei numeri reali e sua relazione con l'insieme dei numeri razionali , interi e naturali. Definizione della parte intera di un numero reale e della funzione parte intera ; teorema di approssimazione di un numero reale con un numero razionale ; definizione di radice n-esima di un numero reale positivo e teorema sull'unicità della radice n-esima.

Pag.11 : Principio di induzione matematica , definizione di insiemi equipotenti basata su corrispondenza biunivoca , insiemi infiniti , insiemi numerabili , teorema sulle proprietà dei sottoinsiemi degli insiemi numerabili , teorema sull'unione degli insiemi numerabili.

Pag.12 : Teorema sulla numerabilità dell'insieme dei numeri razionali , definizione di potenza del continuo , teorema di non numerabilità dell'insieme dei reali , definizione di fattoriale di un numero naturale , definizione di coefficiente binomiale e proprietà del coefficiente binomiale. Coefficienti binomiali notevoli (n n) , (n 0) , (n k) , (n+1 k).

Pag.13 : Esigenza dei numeri complessi per permettere operazioni non ammesse nei numeri reali ( radici n-sime pari di numeri negativi ) ; definizione di numero complesso e proprietà dei numeri complessi : definizione di prodotto e addizione , proprietà commutativa , associativa e distributiva di prodotto e addizione , esistenza degli elementi neutri per somma e addizione , esistenza dell'elemento opposto rispetto all'addizione e dell'elemento inverso rispeto al prodotto. Proprietà di campo dell'insieme dei numeri complessi. Definizione dell'unità immaginaria i e radice quadrata di -1 .

Pag.14 : Rappresentazione di un numero complesso mediante forma algebrica , definizione di complesso coniugato , complesso coniugato di un numero reale e complesso coniugato di un numero immaginario puro. Definizione del modulo di un numero complesso e sue proprietà : numeri complessi a modulo nullo , modulo di due complessi coniugati , modulo del prodotto di due numeri complessi , modulo del quoziente di due numeri complessi , coincidenza fra valore assoluto di un numero reale e modulo dello stesso numero reale considerato nel campo dei complessi. Diseguaglianza triangolari fra i moduli di numeri complessi.

Pag.15 : Rappresentazione geometrica dei numeri complessi , definizione di piano complesso , asse reale e asse immaginario; significato grafico del modulo di un numero complesso , definizione di anomalia o argomento di un numero complesso e sua rappresentazione grafica. Rappresentazione grafica delle diseguaglianze triangolari. Forma trigonometrica dei numeri complessi , esistenza di infiniti possibili argomenti per un numero complesso e definizione di argomento principale di un numero complesso. Operazioni fra numeri complessi in forma trigonometrica : prodotto e quoziente.

Pag.16 : Operazioni fra numeri complessi in forma trigonometrica : reciproco di un numero complesso e potenza n-sima di un numero complesso. Definizione di radice n-sima di un numero complesso e numero di radici n-sime esistenti.

Pag.17 : Le applicazioni dall'insieme dei numeri naturali all'insieme dei numeri reali : definizione di successione ; proprietà delle successioni rispetto alla iniettività e alla suriettività ; definizione di una successione per induzione ; successioni limitate superiormente e successioni limitate inferiormente ; definizione di successione crescente , successione decrescente , successione non crescente e successione non decrescente ; definizione di successione monotona.

Pag.18 : Definizione di successione estratta da una successione data ;  definizione di proprietà definitivamente verificate da una successione : definizione attraverso la finitezza dell'insieme degli elementi che non verifica la proprietà data , definizione equivalente mediante indice oltre il quale la proprietà è verificata ; definizione di successione definitivamente positiva , successione definitivamente negativa , successione definitivamente maggiorata , successione definitivamente minorata , successione definitivamente limitata; teoremi sulla relazione fra le proprietà verificate definitivamente da una successione data e proprietà verificate definitivamente da sue successioni estratte.

Pag.19 : Limiti di una successione : definizione di successione infinitesima ( limite nullo ) , definizione di successione convergente ( limite finito non nullo ) ; teorema sull'unicità del limite di una successione convergente ; teorema sul limite di una successione estratta da una successione convergente ; teorema sulla limitatezza di una successione convergente e osservazione sulla non invertibilità del teorema ( una successioni limitata non è necessariamente convergente ).

Pag.20 : Limiti di una successione : definizione di successione divergente positivamente ( limite = +oo ) e definizione di successione divergente negativamente ( limite = -oo ) ; teorema sulla divergenza di una successione estratta da una successione divergente , teorema sull'illimitatezza di una successione divergente ; osservazione sul viceversa : una successione non limitata non è necessariamente divergente a +oo oppure a -oo : definizione di successioni divergenti in modulo ; definizione di successione regolare e di successione non regolare ; teorema sulla possibilità di estrarre successioni convergenti da successioni limitate , successioni divergenti positivamente da successioni non limitate superiormente , successioni divergenti negativamente da successioni non limitate inferiormente.

Pag.21 : teoremi e proprietà dei limiti di successioni : rapporto fra a=lim{an} e b lim{bn} quando sia noto che an è definitivamente maggiore di bn ; rapporto fra an e bn quando sia noto che a>b ; caso particolare in cui b=0 : un criterio per sapere se an è definitivamente positiva o definitivamente negativa ; teorema dei carabinieri ; operazioni sulle successioni convergenti : limite del valore assoluto di una successione an , limite della somma di due successioni an+bn ,  limite del prodotto di due successioni an*bn , limite del rapporto fra due successioni an/bn quando sia noto che b=lim{bn} è non nullo.

Pag.22 : estensione dei teoremi sul confronto a successioni divergenti e non regolari : teorema sulla divergenza a +infinito di una successione an minorata da una successione bn dove lim{bn}=+infinito , teorema sulla divergenza a -infinito di una successione bn maggioratadove da una succesione an dove lim{an}=-infinito , teorema sul limite di successioni ottenute mediante operazioni fra successioni divergenti , relazioni formali per la sintetizzazione delle proprietà sui limiti delle successioni , forme indeterminate.

Pag.23 : limiti di alcune successioni notevoli : lim (n+a)/(n+b) , lim (a*n+b)/(c*n+d) , lim Nr(n)/Dq(n) con Nr polinomio di grado r e Dr polinomio di grado q , lim n^k , lim a^n , lim a^(1/n) , lim a^n/n , lim a^n/n! , lim a^n/n^k , lim sen(1/n) , lim sen(an)/an , lim n*sen(1/n).

Pag.25 : teoremi sulle successioni monotone : limite di una successione monotona non decrescente e non limitata , limite di una successione monotona non crescente e non limitata , limite di una successione monotona e limitata , valore del limite di una successione non decrescente limitata e valore del limite di una successione non crescente limitata ; applicazione dei teoremi alla successione (1+1/n)^n e definizione del numero di Nepero o numero di Eulero. Definizione della successione delle medie aritmetiche di una successione e definizione della successione delle medie geometriche di una successione.

Pag.26 : limite della successione delle medie aritmetiche di una successione regolare , limite della successione delle medie geometriche di una successione regolare a termini positivi ; corollari ai teoremi sui limiti delle successioni medie : lim {an+1 - an} e lim {an+1/an}

Pag.27 : definizione di successione di Cauchy , lemma sulla limitatezza di una successione di Cauchy , teorema di Bolzano-Weiestrass , lemma sull'estrazione di successioni convergenti da una successione di Cauchy , teorema sulla convergenza di una successione di Cauchy e sulla riconducibilità di ogni successione convergente ad una successione di Cauchy : criterio di convergenza di Cauchy per una successione. Assioma della completezza e definizione di campo completo.

Pag.28 : definizione di massimo limite di una successione , teorema sulle condizioni perché un numero reale sia il massimo limite di una successione , definizione di massimo limite infinito per una successione non limitata superiormente ; definizione di minimo limite di una successione.

Pag.29 : teorema sulle condizioni perché un numero reale sia il minimo limite di una successione , definizione di minimo limite infinito per una successione divergente negativamente , relazione fra massimo limite e minimo limite di una successione nel caso generale , uguaglianza fra massimo limite e minimo limite come criterio di convergenza di una successione , massimo limite e minimo limite di una successione di Cauchy , estrazione da una successione non regolare di una successione convergente al massimo limite ed una successione convergente al minimo limite.

Pag.30 : definizione di funzione reale di variabile reale; funzioni monotone in senso stretto : definizione di funzione crescente in un intervallo I , funzione decrescente in un intervallo I ; funzioni monotone in senso non stretto : definizione di funzione non crescente in un intervallo I , definizione di funzione non decrescente in un intervallo I ; funzioni superiormente limitate e funzioni inferiormente limitate ; relazione fra funzioni monotone e funzioni limitate.

Pag.31 : Definizione di estremo superiore e di estremo inferiore di una funzione reale di variabile reale , definizione di massimo e di minimo , grafico di una funzione reale di variabile reale ; definizione di funzioni pari e di funzioni dispari ; particolarità dei grafici delle funzioni pari e delle funzioni dispari.

Pag.32 : Esempi di funzioni reali di variabile reale e grafici di funzioni reali di variabile reale. Polinomio di primo grado e grafico di un polinomio di primo grado ax+b nel caso di coefficiente a=0 e a non nullo. Caso a=1 e b=0 : funzione identità e grafico della funzione identità. Funzione potenza n-esima di x e grafico della potenza n-esima ; funzione x quadro e grafico della funzione x quadro ( parabola ) .

Par.33 : Funzione seno e grafico della funzione seno. Funzione coseno e grafico della funzione coseno. Funzione tangente e grafico della funzione tangente . Funzione reciproco e grafico della funzione reciproco.

Pag.34 : Limiti delle funzioni reali di varibiale reale . Definizione di intorno propedeutica per la definizione di limite , definizione di limite di una funzione reale in un punto , definizione di convergenza ad un punto , definizione di funzione divergente positivamente , definizione di funzione divergente negativamente .

Pag.35 : Teorema del collegamento e sue conseguenze : limite del valore assoluto di una funzione convergente , limite della somma di due funzioni convergenti , limite del prodotto di due funzioni convergenti , limite del rapporto di due funzioni convergenti , limite della somma di una funzione convergente e di una funzione divergente , limite del prodotto di una funzione divergente per una funzione convergente a zero e convergente a limite non nullo . Teorema dei carabinieri , teorema della permanenza del segno , definizione di intorno di + infinito e definizione di intorno di - infinito.

Pag.36 : Definizione di limite per x che tende a +/- infinito ; definizione di funzione convergente per per x che tende a +/- infinito ; definizione di funzione divergente positivamente per x che tende a +/- infinito ; definizione di funzione divergente negativamente per x che tende a +/- infinito ; teorema del collegamento per funzioni convergenti o divergenti per x che tende a +/- infinito.

Pag.37 : Definizione di limite destro e di limite sinistro ; definizione di limite finito per x che tende ad un punto da destra o da sinistra ; definizione di divergenza per x che tende ad un punto da destra o da sinistra ; Teorema del criterio di convergenza di Cauchy. Teoremi sulle funzioni monotone : regolarità di una funzione monotona su intervallo aperto , convergenza all'estremo inferiore.

Pag.38 : Funzioni continue di una variabile reale , definizione di continuità di una funzione in un punto , definizione di continuità in un intervallo. Definizione di discontinuità in un punto. Classificazione delle discontinuità : discontinuità eliminabile , discontinuità di prima specie , discontinuità di seconda specie. Teorema del collegamento per la continuità in un punto.

Pag.40 : Proprietà delle funzioni continue : teorema della permanenza del segno per una funzione continua , somma di due funzioni continue , differenza di due funzioni continue , prodotto di due funzioni continue , modulo di due funzioni continue e reciproco di due funzioni continue. Continuità delle funzioni composte e teoremi sulla continuità delle funzioni composte.

Pag.41 : Teorema di Weiestrass sull'esistenza del massimo e del minimo di una funzione continua su un intervallo chiuso ; teorema sull'esistenza degli zeri di una funzione continua su un intervallo chiuso che assume valori di segno opposto nell'intervallo ; teorema sull'esistenza dei valori intermedi fra massimo e minimo di una funzione continua su un intervallo chiuso.

Pag.42 : Definizione di uniforme continuità di una funzione reale , teorema sulla continuità di una funzione uniformemente continua . Teorema di Cantor sulla condizione sufficiente perché una funzione sia uniformemente continua in un intervallo chiuso e limitato ; estensione del teorema di Cantor sull'uniforme continuità in intervalli aperti e in intervalli illimitati. Definizione di asintoti obliqui ed asinitoti orizzontali per una funzione.

Pag.43 : Condizione per l'esistenza dell'asintoto obliquo di una funzione reale di variabile reale . Definizione di funzioni lipschitziane e proprietà delle funzioni lipschitziane : uniforme continuità di una funzione lipschitziana ( non vale il viceversa ). Asintoti obliqui nelle funzioni pari e asintoti obliqui nelle funzioni dispari.

Pag.44 : Funzioni inverse e continuità delle funzioni inverse. Teorema : equivalenza fra invertibilità e stretta monotonia di una funzione. Relazione fra il grafico di una funzione e il grafico della funzione inversa. Esempi di funzioni inverse : la funzione x quadro e la funzione radice di x ; la funzione seno di x e la fuzione arcoseno di x

Pag.45 : Esempi di funzioni inverse e relativi grafici : funzione coseno e funzione arcocoseno , funzione tangente e funzione arcotangente.