I diagrammi di Nyquist o diagrammi polari




 
Per tracciare quantitativamente il diagramma di Nyquist della F(s) è necessario calcolare il modulo e la fase di F(jw) per un gran numero di valori di w e riportare i punti corrispondenti sul piano immagine Re[F(jw)],Im[F(jw)] . Se il sistema in catena aperta è stabile , ed ammette quindi risposta a regime per stimoli sinusoidali , queste grandezze possono essere rilevate sperimentalmente costruendo la risposta armonica.
Un ottimo strumento che implementa tale calcolo è il Control System Toolbox per Matlab , costituito da un insieme di funzioni appositamente dedicate all'analisi e alla sintesi dei sistemi di controllo. Fra queste funzioni vi è Nyquist(tf(num,den)) , che riceve due vettori ( num e den ) contenenti i coefficienti del polinomio a numeratore e denominatore della F(s) e plotta il relativo diagramma di Nyquist : tf sta per transfer function ed è una delle funzioni a disposizione del Control System Toolbox per definire un sistema lineare stazionario ; le altre funzioni per la costruzione di un sistema lineare stazionario sono zpk ( modello zero-pole-gain ) , ss ( modello in spazio di stato ) , frd ( frequency response data , che crea un modello a partire dalla risposta in frequenza del sistema ) .
Non è sempre necessario, però, tracciare il diagramma quantitativo : per determinare la stabilità del sistema a ciclo chiuso, infatti, è sufficiente conoscere il numero di giri che il diagramma di Nyquist compie attorno al punto critico; pertanto ci si può accontentare di un andamento qualitativo , prestando attenzione alla scala e al dato quantitativo solo nell'intorno di -1+j0 ; elencheremo ora un certo numero di regole utili al tracciamento del diagramma di Nyquist secondo questo principio :
1) Il diagramma di Nyquist è simmetrico rispetto all'asse reale , perché i sistemi lineari stazionari sono rappresentati da funzioni di trasferimento razionali a coefficienti reali , per le quali F(-jw)=F*(jw) . Per ottenere il diagramma completo è sufficiente quindi tracciare il semi-diagramma per w>0 e ribaltarlo rispetto all'asse reale. Questo spiega perché il diagramma di Nyquist può essere tracciato sperimentalmente a partire dalla risposta armonica : per le w positive, modulo e fase della F(jw) possono essere ricavate stimolando i blocchi della catena diretta con ingressi sinusoidali e rilevando l'attenuazione e lo sfasamento dell'uscita. Per le frequenze negative questo non è ovviamente possibile e i punti corrispondenti nel diagramma di Nyquist non hanno significato fisico, ma pura valenza matematica . Grazie a questa simmetria è' comunque possibile ricavarli da quelli a frequenze reali mediante ribaltamento.
2) Se F(s) è una funzione razionale strettamente propria, la semicirconferenza di raggio infinito che circonda il semipiano Re>0 si mappa nell'origine di Re[F(jw)],Im[F(jw)] ; se invece numeratore e denominatore hanno lo stesso grado ( ricordiamo che le funzioni razionali improprie non sono fisicamente realizzabili ) , la semicirconferenza si mappa in un punto finito ottenibile come:
.
Per calcolare la fase con cui il diagramma di Nyquist arriva in questo punto è sufficiente ricordare che , per , ciascuno zero di ordine k contribuisce con la fase , mentre ciascun polo di ordine k contribuisce con la fase . Complessivamente, quindi, il diagramma di Nyquist arriva nel punto considerato con la fase
,
dove n è il grado del denominatore della F(s) ed m il grado del numeratore.
3) In w=0 il diagramma di Nyquist parte dai seguenti punti :
  3a) dall'asse reale (fase nulla) , con modulo pari al guadagno statico , se la F(s) non presenta né integratori (poli nulli ) né derivatori (zeri nulli ) ;
 
3b) da un punto all'infinito , con quadrante determinato dal numero di integratori , se la F(s) presenta poli nulli . Se ad esempio si ha un solo integratore , il diagramma di Nyquist, per w=0 , partirà dall'asse immaginario con modulo . Se invece gli integratori sono due, il diagramma partirà da un punto che diverge verso la direzione negativa dell'asse reale , ecc ;
 
3c) dall'origine del piano complesso , se la F(s) presenta derivatori. La fase con cui il diagramma parte da questo punto , dipende, come per il caso 3b , dal numero di derivatori. Detto k il numero di zeri nulli , la fase iniziale sarà
.
4) Un altro punto significativo per tracciare qualitativamente il diagramma di Nyquist è il limite per : questo punto permette infatti di intuire in che direzione muove il diagramma di Nyquist per andare dalla frequenza nulla a frequenza infinita. Se non si vuole calcolare esplicitamente il limite , è sufficiente tenere conto delle costanti di tempo di poli e zeri della f.d.t. e valutare il modulo per una frequenza che corrisponda ad un tempo sufficientemente maggiore della costante di tempo più grande.

Tracciamento del diagramma di Nyquist per una semplice f.d.t.

Per esemplificare l'utilizzo delle regole sopra descritte , presentiamo ora i diagrammi di Nyquist di una funzione di trasferimento elementare , che presenta un solo polo reale negativo.
DIAGRAMMA POLARE DI UNA F.D.T. CON UN POLO REALE NEGATIVO : Prendiamo ad esempio un polo in -1 e guadagno statico unitario , per cui la funzione di trasferimento è :

Per quanto detto al punto 2) , il è nullo e la fase di F(s) per frequenze infinite è : il diagramma di Nyquist alle alte frequenze tende all'origine del piano caratteristico e vi arriva tangente al semiasse immaginario negativo, come mostra la figura 1.
Figura 1 : Il diagramma di Nyquist di 1/(s+1) per frequenze infinite tende all'origine del piano caratteristico con direzione tangente al semiasse immaginario negativo
La funzione di trasferimento non presenta né zeri né poli nulli e il guadagno statico è 1 , pertanto per w=0 il diagramma parte dal punto 1+j0 ; per la fase della f.d.t. tende a valori negativi ( si pensi al diagramma di Bode di un sistema con un solo polo negativo ) , quindi il diagramma di Nyquist si sposta da 1+j0 verso il quarto quadrante , come mostrato in figura 2.
Figura 2 : il dettaglio del diagramma di Nyquist di 1/(s+1) per 2=0
Da quanto si è detto sul comportamento della f.d.t. per , anche alle alte frequenze il diagramma di Nyquist resta nel quarto quadrante : si può intuire che esso resta interamente contenuto in questo quadrante con un andamento regolare del tipo indicato in figura 3.
Figura 3 : Il diagramma di Nyquist di 1/(s+1)
Si può concludere , pertanto, che un sistema di controllo con un solo polo negativo in catena diretta sarà stabile in catena chiusa qualunque siano:
1) la costante di retroazione k : il diagramma polare è infatti contenuto interamente entro il primo e quarto quadrante e non circonderà mai alcun punto -1/k+j0 , indipendentemente dal valore finito di k ;
2) il guadagno statico : si può notare , infatti , che se avessimo avuto una funzione del tipo Kst/(s+p) sarebbe variato il punto di intersezione fra il diagramma di Nyquist e il semiasse reale positivo, ma il diagramma stesso sarebbe comunque stato interamente compreso nel 1° e 4° quadrante, senza possibilità di circondare il punto critico.
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Bibliografia:
G. Franklin, J.D.Powell,A.Emami-Naeni - Feedback Control of Dynamical Systems - Ed. Addison Wesley
Giovanni Marro - Controlli automatici - Zanichelli Editore
Alberto Isidori - Sistemi di Controllo - Editrice Siderea
Tommaso Leo - Dispense del Corso di Controlli Automatici - Università Politecnica delle Marche, A.A. 2003/04
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