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Appunti del corso di Analisi Matematica 1 , Facoltà di Ingegneria Elettronica

Capitolo 1 : Insiemi di numeri, teoria degli insiemi, operazioni fra insiemi : insieme vuoto, insiemi complementari, applicazioni e funzioni, insieme immagine, funzioni iniettive, suriettive, biettive, insiemi infiniti .

Capitolo 2 : Funzione identica e immersione, prodotto cartesiano e grafico di una funzione, relazioni di equivalenza e classi di equivalenza, insieme quoziente, relazione d'ordine e insiemi ordinati: massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore .

Capitolo 3 : Gruppi, corpi, campi. definizione assiomatica del campo dei numeri reali, proprietà rispetto alla somma e al prodotto, proprietà rispetto all'ordinamento .

Capitolo 4 : Funzione valore assoluto, assioma di completezza, intervalli limitati, il sistema esteso dei numeri reali e gli intervalli illimitati, struttura del sistema esteso dei numeri reali, funzione parte intera, radici n-sime dei numeri reali positivi .

Capitolo 5 : Principio di induzione matematica, insiemi equipotenti, insiemi infiniti, insiemi numerabili, potenza del continuo, definizione di fattoriale e coefficiente binomiale .

Capitolo 6 : Il campo dei numeri complessi, l'unità immaginaria i, forma algebrica dei numeri complessi, modulo di un numero complesso, rappresentazione geometrica dei numeri complessi, forma trigonometrica, operazioni in forma trigonometrica, radici n-sime di numeri complessi .

Capitolo 7 : Successioni di numeri reali, definizione di una successione per induzione, successioni limitate superiormente ed inferiormente, successioni crescenti, decrescenti, monotone, successione estratta da una data, proprietà verificate definitivamente da una successione .

Capitolo 8 : Limiti di una successione reale, successioni convergenti, divergenti positivamente, divergenti negativamente, successioni regolari e non regolari, teoremi e proprietà dei limiti di successioni, raccolta di limiti notevoli .

Capitolo 9 : Teoremi sulle successioni monotone, media aritmetica e media geometrica di una successione, teoremi sulle medie geometriche e sulle medie aritmetiche .

Capitolo 10 : Criterio di convergenza di Cauchy, teorema di Bolzano-Weiestrass, assioma della completezza, massimo limite e minimo limite di una successione, relazione fra massimo limite e minimo limite .

Capitolo 11 : Funzioni reali di variabile reale, funzioni crescenti e decrescenti, funzioni superiormente ed inferiormente limitate, estremo superiore ed estremo inferiore di una funzione, massimo e minimo di una funzione, definizione di grafico di una funzione reale di variabile reale, funzioni pari e dispari, esempi di grafici .

Capitolo 12 : Limiti delle funzioni reali di variabile reale, funzione convergente, divergente positivamente e negativamente in un punto e all'infinito, teorema del collegamento, teoremai dei carabinieri, teorema della permanenza del segno, definizione di intorno .

Capitolo 13 : Limite destro e limite sinistro, criterio di convergenza di Cauchy, teoremi sulle funzioni monotone, funzioni continue, classificazione delle discontinuità, proprietà delle funzioni continue, permanenza del segno, continuità delle funzioni composte .

Capitolo 14 : Funzioni continue su un compatto, teorema di Weiestrass sull'esistenza del massimo e del minimo teorema sull'esistenza degli zeri,teorema sui valori intermedi .

Capitolo 15 : Uniforme continuità, teorema di Cantor, estensione del teorema a intervalli aperti e illimitati, asintoti obliqui e asintoti orizzontali,funzioni lipschitziane, asintoti obliqui nelle funzioni pari e dispari, funzioni inverse e loro continuità .

Capitolo 16 : Infinitesimi, infinitesimi simultanei e loro confronto, principio di sostituzione degli infinitesimi, parte principale di un infinitesimo rispetto ad uno di ordine inferiore .

Capitolo 17 : Derivate delle funzioni reali, rapporto incrementale, derivata destra e derivata sinistra, significato geometrico del rapporto incrementale e della derivata, retta limite, linearizzazione di una funzione e differenziabilità, teorema del differenziale .

Capitolo 18 : Regole di derivazione, dervata della somma, derivata del prodotto, derivata del reciproco, derivata del rapporto, derivate di funzioni composte e di funzioni inverse, derivate successive, classe delle funzioni derivabile .

Capitolo 19 : Funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzione esponenziale di base qualsiasi, proprietà della funzione a^x, logaritmo in base a, funzione potenza ad esponente reale, funzioni iperboliche .

Capitolo 20 : Teoremi di Rolle, Teorema di Cauchy, Teorema di Lagrange, significato geometrico del teorema di Lagrange corollari del teorema di Lagrange, lipschitzianità di funzioni con derivata limitata .

Capitolo 21 : Teoremi di L'Hopital sulle forme indeterminate, riconducibilità di altre forme indeterminate al rapporto di infiniti o infinitesimi .

Capitolo 22 : Formula di Taylor per un polinomio, formula di Taylor generale, resto nella forma di Peano, resto nella forma di Lagrange, Taylor nell'origine o sviluppo di Mc Laurin .

Capitolo 23 : Crescenza e decrescenza puntuale, punti di massimo e minimo relativo e teoremi connessi, concavità e convessità in un punto, significato geometrico, concavità e convessità in un intervallo, teoremi connessi .

Capitolo 24 : Serie numeriche, serie convergenti, serie divergenti positivamente, divergenti negativamente, serie indeterminate, carattere di una serie, serie geometrica, criterio generale di convergenza, resto ennesimo .

Capitolo 25 : Serie a termini postivi, teorema sulle serie a termini positivi, criterio del confronto, serie minorante e serie maggiorante, criterio dell'ordine di infinitesimo, criterio della radice, criterio del rapporto, serie convergenti assolutamente .

Capitolo 26 : Serie a segni alternati, criterio di Leibniz sulle serie a segni alternati, proprietà associativa delle serie numeriche, riordinamento dei termini, validità della proprietà commutativa, convergenza incondizionata, sooma di serie, prodotto secondo Cauchy .

Capitolo 27 : Teoria dell'integrazione, considerazioni intuitive, partizioni, estremo superiore ed estremo inferiore della partizione, somma superiore e somma inferiore, definizione di funzione integrabile secondo Riemann .

Capitolo 28 : Criteri di integrabilità, integrabilità di funzioni continue, integrabilità secondo Riemann di funzioni monotone, integrale come limite delle somme sigma .

Capitolo 29 : Linearità dell'integrale, teorema della media integrale, additività dell'integrale, integrabilità di funzioni composte, integrabilità del prodotto di funzioni .

Capitolo 30 : L'integrale definito, additività e monotonia, la funzione integrale, teorema fondamentale del calcolo integrale, teorema sulle primitive di una funzione, formula fondamentale del calcolo integrale .

Capitolo 31 : Integrali indefiniti, integrazione indefinita per decomposizione, regola di integrazione per parti, regola di integrazione per sostituzione, integrali di funzioni razionali fratte, metodo dei residui, tavola degli integrali elementari .

Capitolo 32 : Integrali impropri, criterio di Cauchy per la funzione integrale, criterio del confronto, integrale improprio assolutamente convergente, criterio di convergenza assoluta, studio dell'esistenza dell'integrale improprio .

Capitolo 33 : Integrale improprio esteso ad intervalli aperti, integrale improprio esteso ad intervalli illimitati, criterio di Cauchy e del confronto asintotico, studio delle funzioni integrali .

Capitolo 34 : Successioni di funzioni, successioni convergenti puntualmente, successione uniformemente convergente, criterio di convergenza uniforme di Cauchy, conseguenze della uniforme convergenza: passaggio al limite sotto il segno di derivata e sotto il segno di integrale .

Capitolo 35 : Serie di funzioni, serie convergente puntualmente ed uniformemente, resto ennesimo di una serie, criterio di Cauchy per la convergenza uniforme, passaggio al limite sotto il segno di derivata e di integrale .

Capitolo 36 : Serie di Taylor per funzioni indefinitamente derivabili, criterio del termine complementare, condizione sufficiente alla sviluppabilità .

Capitolo 37 : Serie di potenze, raggio di convergenza, intervallo di convergenza, criteri di convergenza per serie di potenze: criterio del rapporto, criterio della radice, teorema di Abel