La Fedeltà di risposta di un sistema di controllo

Dopo la stabilità , analizziamo l'altro fondamentale requisito che un sistema di controllo deve soddisfere : la fedeltà di risposta. La si è definita nel paragrafo 2.1 come la capacità del sistema di produrre uscite conformi a quelle desiderate . Dalla definizione stessa si intuisce che questo argomento necessita una trattazione molto ampia , perché vi sono molti aspetti da tenere in considerazione. Considerando ad esempio le cause che influenzano l'uscita del sistema , si distingue fra:
1) fedeltà di risposta rispetto agli ingressi di controllo
2) fedeltà di risposta rispetto ai disturbi
3) fedeltà di risposta rispetto alle variazioni parametriche ( vedi sensibilità )
Considerando invece il comportamento del sistema di controllo e i suoi tempi di risposta, si ottiene la seguente classificazione della fedeltà di risposta :
a) fedeltà a regime permanente
b) fedeltà in regime transitorio
Vanno infine scelte particolari classi di ingressi rispetto ai quali caratterizzare le proprietà del sistema , non potendo ovviamente considerare tutti i possibili stimoli che si troverebbero ad agire sui sistemi reali. Le classi scelte in questa sede sono :
- gli ingressi polinomiali e sinusoidali per la risposta a regime
- il gradino per la risposta transitoria

Definizione del sistema errore

La fedeltà di risposta si quantifica a partire dallo scostamento fra uscita desiderata ed uscita effettiva del sistema : il primo passo per l'analisi di questa proprietà consiste nel definire il sistema errore , ovvero un sistema fittizio la cui uscita corrisponde allo scostamente fra uscita desiderata ed uscita effettiva . Definendo tale scostamento ( l'errore, appunto ) come : 
e pensando l'uscita desiderata come l'uscita di un sistema desiderato Wd(s) :
la funzione di trasferimento del sistema errore è la seguente :
e lo schema a blocchi corrispondente è indicato in figura 1.

In seguito si tratteranno sistemi di controllo proporzionali, in cui cioè l'uscita deve seguire l'ingresso secondo un fattore di proporzionalità kd , per cui Wd(s)=kd e la funzione di trasferimento del sistema errore è : 

La teoria dei sistemi ci dice che , per poter parlare di risposta a regime permanente di un sistema lineare stazionario di ordine finito è necessario che il sistema stesso sia asintoticamente stabile. in questo caso esiste risposta a regime per un ingresso del tipo: , detto polinomio canonico , è un polinomio completo esprimibile nella forma :

I coefficienti Ci corrispondono con i coefficienti dello sviluppo in serie di Mc Laurin della funzione di trasferimento W(s) , valutati in s=0 per il teorema del valore finale: 
Riscrivendo l'espressione per il sistema errore otteniamo la seguente risposta a regime :

dove il coefficienti di errore si calcolano in maniera analoga:

La forma assunta da tali coefficienti , che sono legati alle derivate in s della f.d.t. del sistema errore , permettono di dimostrare la seguente proposizione: 
PROPOSIZIONE 1: Se un sistema di controllo proporzionale risponde a regime con errore costante ad un polinomio canonico di ordine k , la sua risposta presenta errore nullo per ingressi canonici di ordine inferiore ed errore illimitato per ingressi canonici di ordine superiore . Questa proprietà è di fondamentale importanza per definire il tipo di un sistema di controllo. 
DIMOSTRAZIONE : Chiedere che l'errore a regime sia costante e non nullo equivale a imporre le seguenti condizioni sui coefficienti di errore:
Se a questo punto andiamo a scrivere l'espressione dell'errore a regime per ingressi canonici di ordine k+1 e k-1, otteniamo che: 
a) l'errore rispetto all'ingresso canonico di ordine k-1 è nullo, perché si tratta di un polinomio completo con tutti i coefficienti nulli: 
b) l'errore rispetto all'ingresso canonico di ordine k+1 è divergente , essendo caratterizzato dall'espressione :
, in cui � presente il termine divergente:

Un sistema di controllo proporzionale si dice di ordine k se la risposta a regime permanente  all'ingresso a regime  differisce dall'andamento desiderato  per una quantità costante non nulla. 
L'esistenza di un solo valore k che distingue fra i 3 possibili comportamenti ( errore nullo , errore costante, errore divergente ) è assicurata dalla proposizione 1 : se la proposizione non fosse valida e il comportamento non fosse così regolare al crescere dell'ordine dell'ingresso , non avrebbe senso la definizione stessa di tipo del sistema. 
In termini pratici, risulta interessante studiare sistemi di tipo zero, tipo uno e , al massimo sistemi di tipo 2. Ha poco senso ,infatti, considerare sistemi di tipo arbitrariamente grande , principalmente per due motivi :
1) perché gli ingressi con cui vengono stimolati i sistemi reali appartengono a un numero ristretto di classi . Tralasciando per ora gli stimoli sinusoidali, che verranno trattati a parte, la maggior parte degli ingressi nei sistemi di controllo reali si possono ottenere con sovrapposizioni di :

gradini , ovvero tratti ad andamento costante : i sistemi che forniscono errore a regime nullo per ingresso a gradino sono i sistemi di tipo zero.

2) Per questioni di stabilità. Si vedrà infatti nella prossima pagina che, per aumentare il tipo di un sistema di controllo in controreazione, è necessario introdurre integratori in catena diretta , che avvicinano il sistema al limite dell'instabilità. Si può quindi affermare che stabilità e fedeltà di risposta sono due esigenze contrastanti ed è compito del progettista trovare il giusto compromesso.