Sintesi di un sistema di controllo di tipo k

 

Si è detto nel paragrafo precedente che , per avere un sistema di tipo k deve essere soddisfatta la seguente condizione sui coefficienti Ce,i del sistema errore:

Si è anche detto che tali coefficienti descrivono lo sviluppo in serie di Mc Laurin della funzione di trasferimento del sistema errore:

Abbiamo cioè dimostrato che : 
PROPOSIZIONE 1 : Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema di controllo sia di tipo k è che la funzione di trasferimento del sistema errore abbia uno zero di ordine k nell'origine ( k derivatori ).

La proposizione 1 fornisce una prima indicazione sulla sintesi di un sistema di controllo di tipo k , che ha validità generale e non dipende dalla particolare struttura del sistema da realizzare. Vedremo poi come questa condizione si particolarizzerà nel caso di sistemi di controllo in controreazione. Per ora si tratta di tradurre una condizione sulla f.d.t. del sistema errore in una condizione sulla f.d.t. del sistema di controllo vero e proprio, perché è su quest'ultima che agisce il progettista in fase di sintesi.
Per fare questo sviluppiamo l'equazione  , vista nel paragrafo precedente , per i sistemi di controllo proporzionali , a partire da diverse possibili espressioni per la funzione di trasferimento W(s) :

1) W(s) in forma di rapporto fra polinomi :  . Sviluppando l'equazione della We(s) e portando i due termini a denominatore comune , otteniamo :

2) W(s) in forma fattoriale secondo l'espressione di Bode :  . Si tratta di trovare delle relazioni fra le costanti di tempo dei singoli poli e zeri : trovare una condizione di validità generale per ogni k , a partire dalla proposizione 1 , risulta in questo caso più difficile . Conviene allora , a partire dalle condizioni sui Ce,i trovate nel paragrafo precedente, trovare delle condizioni per ottenere dei sistemi di tipo zero, uno , due, che sono quelli più facili da trovare operativamente.

PROPOSIZIONE 3A) : Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema sia di tipo zero è che si abbia  . In caso contrario il sistema è certamente di tipo k>0.
DIMOSTRAZIONE : Per come abbiamo visto che si calcolano i coefficienti Ce,i della funzione di trasferimento del sistema errore si ha che  e , per la definizione stessa del guadagno statico :  . Pertanto perché il coefficiente sia non nullo deve aversi  .

PROPOSIZIONE 3B) : Condizioni necessarie e sufficienti perché un sistema sia di tipo zero sono le seguenti : 
3B.1) k=kd 
3B.2) 
DIMOSTRAZONE : Si è visto nella proposizione 3A che se k=kd si annulla il coefficiente Ce,0 e quindi il sistema è certamente di tipo k>0. Si tratta ora di trovare le condizioni che rendono non nullo Ce,1. Andando a calcolare la derivata si ottiene:

PROPOSIZIONE 3C) : Condizioni necessarie e sufficienti perché un sistema di controllo sia di tipo 2 sono le 3B.1,3B.2 e la: 
3B.3) 
DIMOSTRAZIONE : Continuando a calcolare i coefficienti della serie di Mc. Laurin della We(s) si ha che  , perciò imponendo che Ce,2=0 si ha la 3B.3) .

Per avere sistemi di controllo proporzionali , secondo lo schema in controreazione indicato in figura 1 , il ramo inverso deve essere statico e caratterizzato da un guadagno 1/kd. Possiamo in questo modo calcolare la funzione di trasferimento del sistema errore We(s) e vedere che relazione esiste fra i suoi zeri e i poli e gli zeri della funzione di trasferimento in catena diretta G(s).

pertanto l'espressione della funzione di trasferimento ingresso/errore è:

 .

Scrivendo quindi la G(s) come rapporto di polinomi (  ) , la funzione di trasferimento del sistema errore si può scrivere come :

.

Un aspetto importante in fase di sintesi riguarda la possibilità di ridurre l'errore a regime del sistema ( errore al gradino per sistemi di tipo zero , errore alla rampa per sistemi di tipo 1 , ecc ) entro soglie stabilite dalle specifiche di progetto. Nei sistemi a retroazione negativa questo parametro è il guadagno statico Kg della f.d.t. in catena diretta. Per sistemi di tipo zero si ha infatti :

.

Per i sistemi di k>0 vale qualcosa di analogo , anche se Kg è una semplice costante moltiplicativa e non ha il significato di guadagno statico ( il modulo della G(s) tende a infinito alle basse frequenze per la presenza degli integratori):