I controllori PID sono algoritmi di regolazione da impiegarsi in sistemi di controllo ad anello chiuso , cioè a reazione negativa o in controreazione , dove l'ingresso di controllo è dato dalla somma di tre componenti : una Proporzionale , una Integrale ed una Derivativa . Dalle iniziali Proportional-Integral-Derivative si ottiene appunto l'acronimo PID che definisce il tipo di regolatore. 

In termini matematici , detto u(t) il segnale di controllo ed e(t) l'errore , cioè lo scostamento tra l'uscita desiderata e l'uscita rilevata all'istante t , l'espressione nel dominio del tempo del segnale prodotto dal regolatore PID è :

u(t) = Kp * [ e(t) + 1/Ti * ∫0-t ( e(x)*dx ) + Td * de(t)/dt ]

- Kp è la costante proporzionale o guadagno
- Ti è la costante di tempo dell'azione integrativa
- Td è la costante di tempo dell'azione derivativa

Da questa relazione è evidente che un controllore PID può , mediante opportune scelte delle costanti , ridursi facilmente a un "controllore proporzionale P" ( Td=0 e Ti -->∞ ) , un "controllore proporzionale-integrativo PI" ( Td=0 ) , "controllore proporzionale-derivativo PD" ( Ti -->∞ ) .

Conoscendo il senso matematico delle funzione "derivata di" e "integrale di" , le tre azioni di controllo hanno un loro specifico significato :

- l'azione proporzionale tiene conto del valore attuale dell'errore . Una costante proporzionale alta farà si che l'azione di controllo sia grande anche in caso di errori piccoli , mentre una costante proporzionale bassa renderà meno rilevante il valore attuale dell'errore , privilegiando invece il valore che l'errore ha avuto in passato ( azione integrale ) e le dinamiche di variazione dell'errore nel tempo futuro ( azione derivativa ).

- l'azione integrale tiene appunto conto del valore assunto dall'errore nel passato. Considerando che la costante Ti sta a denominatore e che quindi la componente integrativa è determinata dal rapporto Ki=Kp/Ti , un valore basso di Ti ( cioè un rapporto Kp/Ti più alto , a parità di Kp ) farà si che l'azione di controllo sia rilevante in caso di un errore elevato nel passato , mentre un valore elevato di Ti tenderà ad abbassare il rapporto Kp/Ti , rendendo il segnale di controllo u(t) meno sensibile ai valori passati dell'errore , dando più rilevanza all'azione proporzionale ed , eventualmente ( dipende da Td ) , alle dinamiche future dell'errore

- l'azione derivativa è appunto quella che tiene conto delle variazioni dell'errore , cercando di compensare le dinamiche future dell'errore. In presenza di un Kd=Kp*Td elevato , l'azione di controllo sarà forte quando l'errore subisce delle variazioni , mentre in presenza di un valore basso di Td , l'errore sarà più insensibile alle variazioni , tenendo invece più conto del valore attuale e passato dell'errore. Una forte azione derivativa determina quindi una maggiore "prontezza" del sistema di controllo , soprattutto quando si deve inseguire un valore desiderato per l'uscita variabile e non un setpoint fisso. Per lo stesso motivo e per ragioni matematiche che vedremo più avanti , l'azione derivativa è anche quella che introduce maggiori rischi di instabilità per il sistema complessivo.

L'espressione dell'algoritmo PID utilizzando le costanti Ki e Kd in luogo delle costanti di tempo è la seguente :

u(t) = Kp * e(t) + Ki * ∫0-t ( e(x)*dx ) + Kd * de(t)/dt 

Alcuni libri per approfondire l'argomento :

Regolazione PID. Tecniche di taratura, schemi di controllo, valutazione delle prestazioni
Autore: Massimiliano Veronesi
Editore: Franco Angeli

Practical PID Control
Autore: Antonio Visioli
Editore: Springer London Ltd