Il lemma del Mapping e il Criterio di Nyquist

 

L'approccio allo studio della stabilità presentato nel paragrafo precedente presenta due svantaggi sostanziali :

1) Richiede la conoscenza esplicita della W(s) a ciclo chiuso , o almeno del suo denominatore ( il polinomio caratteristico ), così da poterne calcolare i poli . Il criterio che andremo or ora a formulare si basa invece sul Diagramma di Nyquist della F(s) , cioè della funzione di trasferimento in catena aperta ( se consideriamo la presenza del processo P(s), del controllore G(s) e della costante di retroazione K si ha F(s)=K*G(s)*P(s) ). Il diagramma di Nyquist (detto anche diagramma polare ) di una funzione razionale F(s) è il luogo degli estremi del vettore P(jw) , rappresentato sul piano Re[P(jw)],Im[P(jw)] , per w che varia da  a  ; si può quindi costruire sperimentalmente osservando la risposta in frequenza della catena di blocchi che costituiscono l'anello aperto del sistema di controllo. 

2) Non è orientato alla sintesi dei sistemi di controllo a controreazione ; il metodo che andremo a trattare ora , invece , fornisce indicazioni immediate sulle modifiche da apportare alla F(s) ( e quindi al controllore) perché il sistema a ciclo chiuso risulti più o meno vicino al limite dell'instabilità : queste anticipazioni saranno più chiare quando si sarà esaminato l'effetto del guadagno ( o dell'aggiunta di un integratore o di un derivatore) sul diagramma di Nyquist.

LEMMA DEL MAPPING : Data una funzione razionale G(s) e una curva chiusa C del piano di Gauss Re[s],Im[s] , la differenza N fra il numero di zeri Z e il numero di poli P racchiusi dalla curva G è pari al numero di giri che l'immagine C1 di C , secondo G(s) , compie attorno all'origine del piano Re[w=G(s)],Im[w=G(s)]. La curva C deve essere semplice e non deve contenere né poli né zeri di G(s).

DIMOSTRAZIONE INTUITIVA DEL LEMMA DEL MAPPING : Questa "dimostrazione" non costituisce una prova rigorosa del lemma del mapping , ma intende semplicemente presentare in modo intuitivo il significato del lemma del Mapping in una situazione particolarmente semplice , come quella di una G(s) con soli poli e zeri semplici.

Fattorizzando il numeratore ed il denominatore della G(s) nella forma:

la fase di w=G(s) è data dalla somma algebrica delle fasi dei vettori:

Immaginiamo di far compiere ad s un giro completo sulla curva C e osserviamo come variano la fase di questi vettori ; si possono osservare tre diversi comportamenti , a seconda che : 

1) i poli o gli zeri siano esterni rispetto alla curva C : in questo caso, al termine di un giro completo di s su C , la fase dei termini  e  ha riassunto il valore iniziale , come mostrato in figura 2. I poli e gli zeri esterni alla curva C non danno quindi contributo alla variazione della fase di G(s) sul piano immagine, al termine di un giro completo.

2) gli zeri siano interni alla curva C : come mostrato in figura 3 , quando s ha percorso un giro completo su C in senso antiorario, il vettore  ha subito una variazione di fase pari a .

3) i poli siano interni alla curva C : vale lo stesso ragionamento del punto precedente, con la differenza che la variazione di fase dovuta a  si sottrae nel computo della fase di G(s) , quindi il contributo è pari a -.
Complessivamente quindi, la fase di G(s) , per s che compie un giro completo sulla curva C , ha subito una variazione pari a :


ovvero ha compiuto un numero di giri in senso antiorario attorno all'origine di di Re[G(s)],Im[G(s)] pari a :

PARTICOLARIZZAZIONE DEL LEMMA DEL MAPPING PER LO STUDIO DELLA STABILITA' DEI SISTEMI A CICLO CHIUSO: L'enunciato del lemma del mapping vale per tutte le funzioni razionali G(s) e per tutte le curve semplici , chiuse , che non incontrano poli e zeri della G(s) ; si tratta a questo punto di applicarlo a una G(s) e ad un curva C che permettano di derivare un criterio di stabilità asintotica ( nessun polo a ciclo chiuso con parte reale positiva ) : 
1) Essendo interessati a N=Zch-Zap , la funzione G(s) scelta è , per quanto detto nel teorema1, 1+F(s). In particolare , il numero di giri che 1+F(s) compie attorno all'origine del piano complesso è pari al numero di giri che F(s) compie attorno al punto -1+J0 del piano immagine, detto punto critico. 
2) Essendo interessati ad una curva C che racchiuda al proprio interno il semipiano Re>0 ( siamo interessati al numero di poli instabili a ciclo chiuso ) , scegliamo l'asse immaginario , percorso nel senso di jw crescente , completato da una semicirconferenza di raggio infinito che racchiude il semipiano Re>0 , come indicato in figura 4. Questo percorso viene anche detto cammino di Nyquist.

DERIVAZIONE DEL CRITERIO DI NYQUIST DAL LEMMA DEL MAPPING : Ricordando la definizione di Diagramma di Nyquist , l'immagine secondo F(s) della curva appena descritta è proprio il diagramma di Nyquist di F(s) . Osservando quindi quanti giri questo diagramma compie attorno al punto critico -1+j0 , possiamo risalire a N=Zch-Zap. Ma in fase di sintesi Zap è nota , perché siamo noi che stiamo progettando la F(s) , pertanto conosciamo anche Zch=N+Zap. Imponendo che Zch=0 ( il sistema a ciclo chiuso è stabile solo se non ha poli a parte reale positiva ) , perveniamo al Criterio di Nyquist , che impone di verificare la condizione N=-Zap .

CRITERIO DI NYQUIST NEL CASO GENERALE : Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema con controreazione unitaria , caratterizzado da una f.d.t. ad anello aperto F(s) , sia asintoticamente stabile è che il diagramma di Nyquist di F(s) compia un numero di giri in senso antiorario attorno al punto critico -1+j0 pari al numero di poli a parte reale positiva di F(s) [N=-Zap] . Se il ramo di retroazione è costituito da una costante di trasduzione k , i giri da considerare sono attorno al punto -1/k+j0.

CRITERIO DI NYQUIST NEL CASO DI FUNZIONE DI TRASFERIMENTO AD ANELLO APERTO STABILE : Inizialmente il criterio di Nyquist fu formulato per sistemi asintoticamente stabili ad anello aperto , cioè caratterizzati da Zap=0 . In questa versione è noto anche come Criterio di Nyquist ridotto e afferma che : condizione necessaria e sufficiente perché un sistema con F(s) stabile sia asintoticamente stabile anche a ciclo chiuso è che il diagramma di Nyquist di F(s) non circondi il punto critico -1+j0 ( -1/k+j0 se il ramo inverso è caratterizzato da una costante di retroazione k ).