Lo Studio della Stabilità dei Sistemi a ciclo chiuso o a retroazione

 

Un primo possibile metodo per studiare la stabilità dei sistemi di controllo a contoreazione è quello generale valido per tutti gli altri sistemi : si prende la rappresentazione in spazio di stato , o la rappresentazione implicita mediante trasformate, e si analizza la posizione nel piano complesso dei poli a ciclo chiuso.

Partendo dalla rappresentazione in spazio di stato e ricordando le definizioni della stabilità date nel paragrafo precedente, si possono enunciare i seguenti teoremi : 

Con riferimento alla rappresentazione in spazio di stato (1) del paragrafo precedente, la matrice dinamica per il processo è la matrice A e quindi ad essa vanno applicati i criteri sopra esposti. Considerando invece un sistema retroazionato, si deve prima analizzare come viene modificata questa matrice , per poi applicare i criteri alla dinamica complessiva. 
Considerando per semplicità la seguente rappresentazione in spazio di stato ( si è trascurato il disturbo z e si è indicato con e l'ingresso sul ramo diretto , poiché il controllore elabora il segnale errore e non il set-point ) :

e supponendo di realizzare una retroazione dall'uscita con una matrice di costanti K :

I criteri espressi nei teoremi 1,2,3,4 andranno quindi applicati alla matrice A-BKC.

Agli stessi criteri ed alle stesse conclusioni si può pervenire partendo dalla rappresentazione implicia mediante trasformate. Lo schema di figura 2 suggerisce infatti che gli autovalori della matrice dinamica coincidono coi poli della  , gli autovalori osservabili coincidono con i poli della matrice  , mentre gli autovalori osservabili e raggiungibili coincidono coi i poli della matrice W(s).

I teoremi precedenti si possono quindi riformulare come segue :
TEOREMA 1A : Un sistema L.S.D.O.F. è stabile internamente nell'origine se tutti i poli semplici della  sono a parte reale non positiva e i poli multipli sono a parte reale strettamente negativa.
TEOREMA 2A : Un sistema L.S.D.O.F. è stabile asintoticamente internamente nell'origine se tutti i poli della  sono a parte reale strettamente negativa. 
TEOREMA 3A : Un sistema L.S.D.O.F. è stabile esternamente (BIBO) se i poli semplici della matrice  sono a parte reale non positiva e i poli multipli sono a parte reale strettamente negativa.
TEOREMA 4A : Un sistema L.S.D.O.F. è stabile esternamente nella condizione iniziale nulla se i poli della W(s) sono a parte reale negativa.

Per rendere operativi questi criteri non resta che calcolare le matrici indicate. Per il sistema originario valgono le seguenti relazioni:

mentre per il sistema retroazionato è sufficiente, come visto in precedenza, sostituire A con A-BKC.

Se il sistema è raggiungibile ed osservabile i poli della  , della  e della W(s) coincidono , pertanto, come si è osservato nelle lezioni precedenti, la stabilità interna, la stabilità esterna e la stabilità esterna nell'origine sono equivalenti : d'ora in poi si parlerà quindi indistintamente di stabilità. D'ora in poi si considerà il caso di sistemi SISO ( Single Input Single Output) , per i quali dim(u)=dim(y)=1 : la W(s) fra ingresso ed uscita del sistema a ciclo chiuso , quindi, non è più una matrice di funzioni razionali, ma una funzione razionale. Lo studio della stabilità può avvenire studiando le radici del denominatore della :


ovvero  . Un utile strumento per determinare quando le radici di questo polinomio siano a parte reale negativa è il Criterio di Routh , che permette di stabilire il segno delle radici del polinomio ( della loro parte reale, se complesse ) , senza doverle calcolare esplicitamente. 

Dato il polinomio  si costruisca la seguente matrice (detta matrice di Routh-Hurwitz in omaggio all'altro matematico che formulò un criterio analogo parallelamente a Routh) :


dove  ,  e i coefficienti ci, di, ecc si costruiscono con la stessa regola procedendo verso il basso ( l'ultima riga conterrà un solo elemento e quindi non sarà più possibile calcolare altri coefficienti). 

Il Teorema di Routh afferma che il numero di radici nel semipiano a parte reale positiva è pari ai cambiamenti di segno presenti nella prima colonna di tale matrice . Il criterio di stabilitàderivato da questo teorema afferma quindi che condizione necessaria e sufficiente perché tutte le radici di  siano a parte reale negativa è che , supposto an>0 , tutti i coefficienti della prima colonna della tabella di Routh siano positivi.

In realtà prima di costruire la tabella di Routh è buona regola verificare il segno dei coefficienti stessi del polinomio ; si può infatti dimostrare che condizione necessaria perché le radici siano tutte a parte reale negativa è che tutti i coefficienti a0,...,an siano positivi . Pertanto se anche un solo coefficiente manca o è negativo si può concludere che il sistema a ciclo chiuso non è stabile asintoticamente ( criterio di instabilità ).