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Appunti di Analisi Matematica 1 : sommario

Appunti del corso di Analisi Matematica 1 , Facoltà di Ingegneria Elettronica

Capitolo 1 : Insiemi di numeri, teoria degli insiemi, operazioni fra insiemi : insieme vuoto, insiemi complementari, applicazioni e funzioni, insieme immagine, funzioni iniettive, suriettive, biettive, insiemi infiniti .

Capitolo 2 : Funzione identica e immersione, prodotto cartesiano e grafico di una funzione, relazioni di equivalenza e classi di equivalenza, insieme quoziente, relazione d'ordine e insiemi ordinati: massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore .

Capitolo 3 : Gruppi, corpi, campi. definizione assiomatica del campo dei numeri reali, proprietà rispetto alla somma e al prodotto, proprietà rispetto all'ordinamento .

Capitolo 4 : Funzione valore assoluto, assioma di completezza, intervalli limitati, il sistema esteso dei numeri reali e gli intervalli illimitati, struttura del sistema esteso dei numeri reali, funzione parte intera, radici n-sime dei numeri reali positivi .

Capitolo 5 : Principio di induzione matematica, insiemi equipotenti, insiemi infiniti, insiemi numerabili, potenza del continuo, definizione di fattoriale e coefficiente binomiale .

Capitolo 6 : Il campo dei numeri complessi, l'unità immaginaria i, forma algebrica dei numeri complessi, modulo di un numero complesso, rappresentazione geometrica dei numeri complessi, forma trigonometrica, operazioni in forma trigonometrica, radici n-sime di numeri complessi .

Capitolo 7 : Successioni di numeri reali, definizione di una successione per induzione, successioni limitate superiormente ed inferiormente, successioni crescenti, decrescenti, monotone, successione estratta da una data, proprietà verificate definitivamente da una successione .

Capitolo 8 : Limiti di una successione reale, successioni convergenti, divergenti positivamente, divergenti negativamente, successioni regolari e non regolari, teoremi e proprietà dei limiti di successioni, raccolta di limiti notevoli .

Capitolo 9 : Teoremi sulle successioni monotone, media aritmetica e media geometrica di una successione, teoremi sulle medie geometriche e sulle medie aritmetiche .

Capitolo 10 : Criterio di convergenza di Cauchy, teorema di Bolzano-Weiestrass, assioma della completezza, massimo limite e minimo limite di una successione, relazione fra massimo limite e minimo limite .

Capitolo 11 : Funzioni reali di variabile reale, funzioni crescenti e decrescenti, funzioni superiormente ed inferiormente limitate, estremo superiore ed estremo inferiore di una funzione, massimo e minimo di una funzione, definizione di grafico di una funzione reale di variabile reale, funzioni pari e dispari, esempi di grafici .

Capitolo 12 : Limiti delle funzioni reali di variabile reale, funzione convergente, divergente positivamente e negativamente in un punto e all'infinito, teorema del collegamento, teoremai dei carabinieri, teorema della permanenza del segno, definizione di intorno .

Capitolo 13 : Limite destro e limite sinistro, criterio di convergenza di Cauchy, teoremi sulle funzioni monotone, funzioni continue, classificazione delle discontinuità, proprietà delle funzioni continue, permanenza del segno, continuità delle funzioni composte .

Capitolo 14 : Funzioni continue su un compatto, teorema di Weiestrass sull'esistenza del massimo e del minimo teorema sull'esistenza degli zeri,teorema sui valori intermedi .

Capitolo 15 : Uniforme continuità, teorema di Cantor, estensione del teorema a intervalli aperti e illimitati, asintoti obliqui e asintoti orizzontali,funzioni lipschitziane, asintoti obliqui nelle funzioni pari e dispari, funzioni inverse e loro continuità .

Capitolo 16 : Infinitesimi, infinitesimi simultanei e loro confronto, principio di sostituzione degli infinitesimi, parte principale di un infinitesimo rispetto ad uno di ordine inferiore .

Capitolo 17 : Derivate delle funzioni reali, rapporto incrementale, derivata destra e derivata sinistra, significato geometrico del rapporto incrementale e della derivata, retta limite, linearizzazione di una funzione e differenziabilità, teorema del differenziale .

Capitolo 18 : Regole di derivazione, dervata della somma, derivata del prodotto, derivata del reciproco, derivata del rapporto, derivate di funzioni composte e di funzioni inverse, derivate successive, classe delle funzioni derivabile .

Capitolo 19 : Funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzione esponenziale di base qualsiasi, proprietà della funzione a^x, logaritmo in base a, funzione potenza ad esponente reale, funzioni iperboliche .

Capitolo 20 : Teoremi di Rolle, Teorema di Cauchy, Teorema di Lagrange, significato geometrico del teorema di Lagrange corollari del teorema di Lagrange, lipschitzianità di funzioni con derivata limitata .

Capitolo 21 : Teoremi di L'Hopital sulle forme indeterminate, riconducibilità di altre forme indeterminate al rapporto di infiniti o infinitesimi .

Capitolo 22 : Formula di Taylor per un polinomio, formula di Taylor generale, resto nella forma di Peano, resto nella forma di Lagrange, Taylor nell'origine o sviluppo di Mc Laurin .

Capitolo 23 : Crescenza e decrescenza puntuale, punti di massimo e minimo relativo e teoremi connessi, concavità e convessità in un punto, significato geometrico, concavità e convessità in un intervallo, teoremi connessi .

Capitolo 24 : Serie numeriche, serie convergenti, serie divergenti positivamente, divergenti negativamente, serie indeterminate, carattere di una serie, serie geometrica, criterio generale di convergenza, resto ennesimo .

Capitolo 25 : Serie a termini postivi, teorema sulle serie a termini positivi, criterio del confronto, serie minorante e serie maggiorante, criterio dell'ordine di infinitesimo, criterio della radice, criterio del rapporto, serie convergenti assolutamente .

Capitolo 26 : Serie a segni alternati, criterio di Leibniz sulle serie a segni alternati, proprietà associativa delle serie numeriche, riordinamento dei termini, validità della proprietà commutativa, convergenza incondizionata, sooma di serie, prodotto secondo Cauchy .

Capitolo 27 : Teoria dell'integrazione, considerazioni intuitive, partizioni, estremo superiore ed estremo inferiore della partizione, somma superiore e somma inferiore, definizione di funzione integrabile secondo Riemann .

Capitolo 28 : Criteri di integrabilità, integrabilità di funzioni continue, integrabilità secondo Riemann di funzioni monotone, integrale come limite delle somme sigma .

Capitolo 29 : Linearità dell'integrale, teorema della media integrale, additività dell'integrale, integrabilità di funzioni composte, integrabilità del prodotto di funzioni .

Capitolo 30 : L'integrale definito, additività e monotonia, la funzione integrale, teorema fondamentale del calcolo integrale, teorema sulle primitive di una funzione, formula fondamentale del calcolo integrale .

Capitolo 31 : Integrali indefiniti, integrazione indefinita per decomposizione, regola di integrazione per parti, regola di integrazione per sostituzione, integrali di funzioni razionali fratte, metodo dei residui, tavola degli integrali elementari .

Capitolo 32 : Integrali impropri, criterio di Cauchy per la funzione integrale, criterio del confronto, integrale improprio assolutamente convergente, criterio di convergenza assoluta, studio dell'esistenza dell'integrale improprio .

Capitolo 33 : Integrale improprio esteso ad intervalli aperti, integrale improprio esteso ad intervalli illimitati, criterio di Cauchy e del confronto asintotico, studio delle funzioni integrali .

Capitolo 34 : Successioni di funzioni, successioni convergenti puntualmente, successione uniformemente convergente, criterio di convergenza uniforme di Cauchy, conseguenze della uniforme convergenza: passaggio al limite sotto il segno di derivata e sotto il segno di integrale .

Capitolo 35 : Serie di funzioni, serie convergente puntualmente ed uniformemente, resto ennesimo di una serie, criterio di Cauchy per la convergenza uniforme, passaggio al limite sotto il segno di derivata e di integrale .

Capitolo 36 : Serie di Taylor per funzioni indefinitamente derivabili, criterio del termine complementare, condizione sufficiente alla sviluppabilità .

Capitolo 37 : Serie di potenze, raggio di convergenza, intervallo di convergenza, criteri di convergenza per serie di potenze: criterio del rapporto, criterio della radice, teorema di Abel

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Appunti di Elettronica 1 : Sommario

Appunti del corso di Elettronica 1 , Facoltà di Ingegneria Elettronica :

 

1. Gli amplificatori: amplificatore di tensione, amplificatore di corrente, amplificatore di transresistenza, amplificatore di transconduttanza, amplificatori operazionali ideali, configurazione invertente e corto-circuito virtuale, derivatore, integratore, sommatore pesato, configurazione non invertente, amplificatore differenziale

2. Amplificatore operazionale reale, andamento di Av con la frequenza, struttura interna di un o.a. common mode reiection ratio CMRR, resistenze di ingresso e di uscita, tensione di offset e corrente di offset in ingresso

3. Il diodo, modelli del diodo, raddrizzatore ad una semionda, superdiodo, versione alternativa, misura di tensioni sinusoidali, raddrizzatore a doppia semionda, rivelatore di picco

4. BJT: modello statico di Ebers-Moll, regime normale diretto, saturazione, regime inverso, cut-off, caratteristiche grafiche, modelli equivalenti per piccoli segnali, bjt come amplificatore: emettitore comune, collettore comune, base comune

5. Polarizzazione dei bjt discreti, singola alimentazione, doppia alimentazione, significato grafico del punto di lavoro, polarizzazione nei circuiti integrati, specchio di corrente e generatori di corrente

6. Metal-oxide-silicon-field-effect-transistor, MOSFET: equazioni e modelli, polarizzazione dei FET e amplificatori monostadio: source comune, gate comune e drain comune

7. Amplificatori differenziali, coppia differenziale a bjt, analisi quantitativa per grandi segnali, comportamento lineare per piccoli segnali, resistenza di ingresso differenziale e guadagno differenziale, guadagno di modo comune ed effetti delle asimmetrie, amplificatore differenziale a carico attivo e a MOSFET

8. Amplificatori multistadio e controreazione, vantaggi della controreazione: stabilizzazione, aumento della banda, riduzione del rumore, aumento del range di linearità, retroazione serie-parallelo, retroazione serie-serie, retroazione parallelo-serie, retroazione parallelo-parallelo, calcolo del guadagno d'anello

9. Stadi di uscita negli amplificatori di potenza, stadio di uscita in classe A, in classe B, distorsione di crossover, amplificatori in classe AB, polarizzazione con diodi, circuito moltiplicatore della Vbe, dissipazione del calore nei bjt di potenza

10. Analisi in frequenza, risposta di un amplificatore, analisi in bassa frequenza, analisi in alta frequenza, metodo delle costanti di tempo

11. Comportamento in frequenza del source-comune, modello del bjt alle alte frequenze, analisi in frequenza dell'emettitore comune, analisi in frequenza del base comune, configurazione cascode, risposta del collettore comune, cascata di un collettore comune e di un emettitore comune, risposta del differenziale

12. Stabilità e criterio di Nyquist, effetto della controreazione sui poli di un amplificatore, compensazione in frequenza

13. Oscillatore armonico smorzato, oscillatore armonico smorzato con elemento attivo, oscillatori quasi-sinusoidali con schema a controreazione e metodo della funzione descrittiva, esempi di funzioni descrittive

14. Oscillatore a ponte di Wien, oscillatore a sfasamento, oscillatori sinusoidali con generatori di corrente: oscillatori di colpitts, oscillatori di rilassamento, classificazione dei Sistemi del I ordine

15. Multivibratore astabile con resistore anomalo, resistori S a componenti discreti, comparatori di tensione, multivibratore monostabile ed astabile con timer 555, trigger di Schmidt, multivibratore astabile con Trigger di Schmidt

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Appunti di Tecnologie dei Sistemi di Controllo : Sommario

Appunti del corso di Ingegneria e Tecnologia dei Sistemi di Controllo , Facoltà di Ingegneria Elettronica :

1. Il motore a collettore in corrente continua, equazioni statiche del motore, equazioni differenziale elettriche, equazione differenziale meccanica, rendimento del motore

2. Modalità di controllo del motore in corrente continua, motore con eccitazione costante controllato sulla tensione di armatura, comportamento a regime permanente nel controlla sulla Va, motore con eccitazione costante controllato sulla Ia, motore con corrente di armatura costante controllato sulla tensione di eccitazione, motore con Va costante controllato sulla tensione di eccitazione, motore con eccitazione in serie, motore con eccitazione costante, comportamento come freno e generatore, gruppo di Ward-Leonard

3. Motori a commutazione elettronica: motori brushless, modalità di controllo, controllo con correnti sinusoidali, motori passo-passo, principi di funzionamento dei motori passo-passo a magneti permanenti, controllo a passo intero e a mezzo passo, motori passo-passo a riluttanza variabile, motori ibridi, coppia statica o di tenuta e coppia residua, comportamento dinamico su un singolo passo e comportamento dinamico in rotazione continua, dispositivi di pilotaggio, controllo a passi interpolanti

4. Motori elettrici in corrente alternata, modalità costruttive, funzionamento intuitivo di un motore asincrono trifase, caratteristiche coppia motrice-velocità, controllo in frequenza, motore asincrono bifase

5. Amplificatori elettronici di potenza, classificazione dei convertitori statici, chopper monodirezionale a transistor, chopper bidirezionale a transistor,

6. Silicon controlled rettifier (SCR), caratteristica anodica, caratteristica di gate, circuiti di accensione e spegnimento, rettificatore controllato a una semionda con SCR, rettificatore a doppia semionda e triac, rettificatore a doppia semionda con trasformatore, rettificatore semicontrollato a ponte, raddrizzatore a una semionda con carico attivo, chopper monodirezionale con SCR

7. Convertitori statici continua-alternata (inverter) e gto, inverter parallelo, commutazioni ausiliarie e riduzione del contenuto armonico, controllo dell'ampiezza della tensione: modulazione ad impulso singolo, modulazione a più impulsi, modulazione sinusoidale

8. Trasduttori di posizione: il potenziomentro, potenziometri lineari, potenziometri non lineare, parametri caratteristici dei potenziometri: linearità e conformità, risoluzione e granulosità, potenza dissipabile, rumore introdotto, caratteristiche del carico, effetti del carico

9. Altri trasduttori di posizione: trasformatore differenziale ad E, circuiti per il trattamento del segnale del trasformatore, sincro-trasformatore, resolver, errori di velocità nel resolver, inductosyn, encoder assoluto, encoder incrementale, estensimetro

10. Trasduttori di velocità: dinamo tachimetrica, tachimetro in corrente alternata,

11. Trasduttori di forza, pressione accelerazione: trasduttori piezoelettrici, trasduttori piezoresistivi, trasduttori a filo vibrante o a membrana vibrante

12. Trasduttori di temperatura: termocoppie, termoresistenze, termistori; trasduttori di livello: trasduttori a galleggiante, trasduttori a ultrasuoni

13. Controllori logici programmabili (plc),sistemi di controllo discreti, sistemi a stati finiti, descrizione delle sequenza di eventi, sequential functional chart, traduzione del sfc in linguaggio a contatti

14. Le reti locali, architettura a livelli secondo il modello ISO-OSI, i 7 livelli del modello ISO-OSI in dettaglio, tipologia e topologia delle reti locali, architetture commerciali e protocollo tcp-ip, bus di campo, confronto fra profibus e wordfip

15. Affidabilità,

16. Riduttori, calcolo del rapporto di riduzione, riduttori a più stadi

17.Regolatori pneumatici, attuatori pneumatici e valvole, otturatori, trasduttore posizione-pressione a ugello e lamina, regolatore proporzionale (amplificatore pneumatico)

18. Regolatori idarulici,attuatore pneumatico con pistone e distributore a cassetti, altri tipi di attuatori idraulici a pressione costante,attuatore idraulico a portata variabile, trasduttore a getto oscillante, resistenza idraulica e capacità idraulica,integratore,regolatore proporzionale

19. Robotica industriale, geometria di un robot: link, giunti e gradi di libertà, coordinate omogenee, problema cinematico diretto e convenzioni di Denavit-Hartenberg, sistema di riferimento per l'organo terminale, coordinate generalizzate e problema cinematico inverso,modalità di assegnamento della traiettoria, modalità di controllo

20. Sistemi di visione artificiale, acquisizione delle immagine, preelaborazione, segmentazione, descrizione , riconoscimento e interpretazione

 

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Appunti di Telecomunicazioni : Sommario

Appunti del corso di Campi Elettromagnetici , Facoltà di Ingegneria Elettronica

1. Richiami sui processi stocastici e loro spettri di potenza, il rumore termico

2. Canale binario awgn, trasmissione unipolare, trasmissione bipolare o antipodale

3. Rumore bianco attraverso sistemi lineari: banda equivalente; rumore bianco attraverso sistemi rumorosi: temperatura equivalente di rumore, cascata di 2-porte rumorosi

4. Temperatura equivalente di rumore per attenuatore resistivo, caso con rumorosità e guadagno non uniformi in frequenza

5. Modulazioni analogiche, modulazione di ampiezza, modulazione dsb e demodulazione dsb, modulazione am convenzionale, modulazione ssb e demodulazione ssb, modulazione vsb

6. Modulatori e demodulatori AM: dagli schemi concettuali a quelli circuitali, demodulatore bilanciato, ring modulator, switching modulator, modulatore in quadratura,

7. Modulazioni angolari: FM e PM, spettro del segnale FM o PM a banda stretta, spettro FM o PM nel caso di modulante sinusoidale,modulatori e demodulatori angolari

8. Confronto fra le modulazioni analogiche: qualità del segnale dsb-sc, qualità del segnale ssb, qualita del segnale AM convenzionale, qualità nelle modulazioni angolari

9. Pre-enfasi e de-enfasi nella modulazione FM, ricostruzione della portante

10. Teoria dell'informazione, entropia di una sorgente, source coding theorem

11. Codici a lunghezza fissa, variabile, istantanei e autosincronizzanti, algoritmo di codifica di Huffman, algoritmo di codifica di Lempel-Ziv

12. Misura della distorsione da codifica a basso rate, mutua informazione, entropia differenziale di una variabile continua, definizioni di distanza e distorsione, rate-distortion function

13. ISI: interferenza di intersimbolo

14. Quantizzazione: uniforme e non uniforme, quantizzazione vettoriale, modulazione pcm e calcolo dell'occupazione di banda nel pcm telefonico, nel segnale audio musicale, nel segnale televisivo

15. Quantizzazione non uniforme nella telefonia, evoluzioni della tecnica pcm, dpcm, modulazione delta-pcm

16. Tecniche di analisi-sintesi, cenni sul formato jpeg

17. Lo studio geometrico delle modulazioni numeriche, rappresentazione vettoriale di un set di m segnali, modulazioni numeriche con set unidimensionale: ask e pam, costellazioni di segnali in spazio bidimensionale: modulazioni PSK, APK, QAM, set di segnali m-dimensionale con m>2: le modulazioni PPM ed FSK

18 . Ricezione di un segnale numerico, demodulatore a correlatore, demodulatore a filtro adattato, rilevatore (decisore) attimo, metodo della probabilità a posteriori per segnale 2PAM antipodale

19. Schemi dei demodulatori PAM, PSK; QAM, FSK

20. Calcolo delle probabilità di errore: PAM binaria ed m-aria, PPM binaria ed m-aria, PSK, DPSK, QAM, modulazioni m-arie ortogonali,

21. Teorema di Shannon-Hartley, modulazioni m-arie biortogonali, modulazioni m-erie transortogonali e fsk non coerente, il problema della sincronizzazione

22. Codifica di canale, codici a blocco, codici a minima distanza, effetto dei codici sulle probabilità di errore

23. Spettro di un segnale numerico in banda base e in banda traslata, codifica di linea, return to zero RZ, non return to zero NRZ, AMI, HDBN, CPFSK

Tesina : Analisi delle modulazioni analogiche col software di simulazione di sistemi di comunicazione SERENADE 8.5 Student Version
matlab

Allegato : Funzione matlab per stabilire il grado di bianchezza di un segnale campionato attraverso il test di Anderson

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I perché della larga diffusione dei regolatori PID

I regolatori PID sono tra i primi algoritmi di controllo introdotti nell'automazione di processo eppure , nonostante i grandi progressi tecnologico , continuano ad avere un grande successo commerciale ed una grande diffusione.

Quali sono i motivi di questo successo e di questa longevità ? Vediamone alcuni :

1) Sono semplici da utilizzare e da configurare , perché nella forma base è necessario configurare solo tre parametri

2) L'algoritmo si può implementare con componenti meccanici , idraulici , pneumatici ed ovviamente elettronici , sia analogici a tempo continuo che digitali a tempo discreto. 

3) Nonostante la semplicità , sono comunque efficace nel controllo di molti processi industriali che non chiedono elevate prestazioni ( termoregolazione , chimica , industria alimentare , ecc )

4) Non necessitano della conoscenza del modello del processo da controllare , che è invece importante nella sintesi di algoritmi di controllo più complessi

5) Analogamente al punto 4 , le migliori prestazioni dei sistemi di controllo più complessi sono spesso vanificate dall'impiego di sensori e trasduttori non sufficientemente precisi , rumore , non linearità ed usura degli attuatori

6) L'elevata diffusione ha portato a :

6A) abbassamento dei prezzi , con relativo innalzamento del rapporto qualità/prezzo

6B) possibilità di trovarli già integrati a bordo di altri componenti di automazione quali Inverter , PLC , termoregolatori , già pronti per essere montati su guida DIN e quadri 

6C) larga conoscenza dell'algoritmo e delle tecniche di taratura , che ne permette la configurazione anche da parte di tecnici con medie conoscenze di informatica ed elettronica

7) possibilità , nonostante la semplicità , di realizzare anche sistemi di controllo più complessi integrando i blocchi PID in configurazioni più complesse : PID a parametri variabili , controllo adattativo , controllo predittivo , controllo in cascata , ecc

Gli inverter e gli azionamenti dispongono sempre più spesso di algoritmi PID fra le loro funzioni
Gli inverter e gli azionamenti elettrici per motori dispongono sempre più spesso di algoritmi PID fra le loro funzioni
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Guida automazione : Cosa sono i controllori PID, il significato dell'azione proporzionale , integrale , derivativa.

I controllori PID sono algoritmi di regolazione da impiegarsi in sistemi di controllo ad anello chiuso , cioè a reazione negativa o in controreazione , dove l'ingresso di controllo è dato dalla somma di tre componenti : una Proporzionale , una Integrale ed una Derivativa . Dalle iniziali Proportional-Integral-Derivative si ottiene appunto l'acronimo PID che definisce il tipo di regolatore. 

In termini matematici , detto u(t) il segnale di controllo ed e(t) l'errore , cioè lo scostamento tra l'uscita desiderata e l'uscita rilevata all'istante t , l'espressione nel dominio del tempo del segnale prodotto dal regolatore PID è :

u(t) = Kp * [ e(t) + 1/Ti * ∫0-t ( e(x)*dx ) + Td * de(t)/dt ]

Kp è la costante proporzionale o guadagno
- Ti è la costante di tempo dell'azione integrativa
- Td è la costante di tempo dell'azione derivativa

Da questa relazione è evidente che un controllore PID può , mediante opportune scelte delle costanti , ridursi facilmente a un "controllore proporzionale P" ( Td=0 e Ti -->∞ ) , un "controllore proporzionale-integrativo PI" ( Td=0 ) , "controllore proporzionale-derivativo PD" ( Ti -->∞ ) .

Conoscendo il senso matematico delle funzione "derivata di" e "integrale di" , le tre azioni di controllo hanno un loro specifico significato :

- l'azione proporzionale tiene conto del valore attuale dell'errore . Una costante proporzionale alta farà si che l'azione di controllo sia grande anche in caso di errori piccoli , mentre una costante proporzionale bassa renderà meno rilevante il valore attuale dell'errore , privilegiando invece il valore che l'errore ha avuto in passato ( azione integrale ) e le dinamiche di variazione dell'errore nel tempo futuro ( azione derivativa ).

- l'azione integrale tiene appunto conto del valore assunto dall'errore nel passato. Considerando che la costante Ti sta a denominatore e che quindi la componente integrativa è determinata dal rapporto Ki=Kp/Ti , un valore basso di Ti ( cioè un rapporto Kp/Ti più alto , a parità di Kp ) farà si che l'azione di controllo sia rilevante in caso di un errore elevato nel passato , mentre un valore elevato di Ti tenderà ad abbassare il rapporto Kp/Ti , rendendo il segnale di controllo u(t) meno sensibile ai valori passati dell'errore , dando più rilevanza all'azione proporzionale ed , eventualmente ( dipende da Td ) , alle dinamiche future dell'errore

- l'azione derivativa è appunto quella che tiene conto delle variazioni dell'errore , cercando di compensare le dinamiche future dell'errore. In presenza di un Kd=Kp*Td elevato , l'azione di controllo sarà forte quando l'errore subisce delle variazioni , mentre in presenza di un valore basso di Td , l'errore sarà più insensibile alle variazioni , tenendo invece più conto del valore attuale e passato dell'errore. Una forte azione derivativa determina quindi una maggiore "prontezza" del sistema di controllo , soprattutto quando si deve inseguire un valore desiderato per l'uscita variabile e non un setpoint fisso. Per lo stesso motivo e per ragioni matematiche che vedremo più avanti , l'azione derivativa è anche quella che introduce maggiori rischi di instabilità per il sistema complessivo.

L'espressione dell'algoritmo PID utilizzando le costanti Ki e Kd in luogo delle costanti di tempo è la seguente :

u(t) = Kp * e(t) + Ki * ∫0-t ( e(x)*dx ) + Kd * de(t)/dt 

Alcuni libri per approfondire l'argomento :

Regolazione PID. Tecniche di taratura, schemi di controllo, valutazione delle prestazioni
Autore: Massimiliano Veronesi
Editore: Franco Angeli

Practical PID Control
Autore: Antonio Visioli
Editore: Springer London Ltd

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Fisica realizzabilità di un sistema di controllo

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Fisica realizzabilità del controllore

Supponiamo di aver assegnato , a partire dalle specifiche di progetto , una W(s) desiderata per il sistema a ciclo chiuso e di aver calcolato, in base alle relazioni del paragrafo precedente, la F(s) che da luogo a tale f.d.t. Supponiamo che l'andamento in frequenza della F(s) così ottenuta sia quello indicato in figura 1:
Figura 1: un possibile andamento per la F(s) ottenuta mediante sintesi diretta
Essendo F(s)=P(s)*G(s) nel caso di reazione unitaria e F(s)=G(s)*P(s)*H(s) nel caso di reazione dinamica , anche il controllore G(s) resta automaticamente determinato. Poniamoci ad esempio nel caso di sintesi ad un grado di libertà ed andiamo a considerare la relazione fra i moduli delle f.d.t. in gioco:
e a seconda del processo che dobbiamo controllare, ci possiamo trovare in una delle due seguenti situazioni : 
a) l'andamento di |P(jw)| , alle alte frequenze, si trova al di sopra di |F(jw)| ( curva verde in figura 2 ) , quindi G(s) ha un comportamento di tipo passa-basso ed è fisicamente realizzabile.
b) l'andamento di |P(jw)| , alle alte frequenze , si trova al di sotto di |F(jw)| ( curva blu in figura 2 ) , quindi G(s) ha un andamento passa alto e non è fisicamente realizzabile.
Figura 2 : due possibili situazioni in cui ci si può trovare nella sintesi diretta
Si dovrà quindi provvedere ad effettuare preventive verifiche sulla P(s) in modo da non trovarsi nella situazione di fisica irrealizzabilità , modificando eventualmente le aspettative sulla W(s) e/o sulla Wz(s) ( un ragionamento analogo a quello sulla G(s) vale infatti per la K(s) della sintesi a compensazione diretta ). Si può dimostrare che delle condizioni da rispettare per non trovarsi in questa situazione sono : 
1)  per quanto riguarda la W(s) ; m ed n sono rispettivamente il grado del numeratore e del denominatore della funzione di trasferimento a ciclo chiuso , mentre mp ed np sono rispettivamente il grado del numeratore e del denominatore del processo , quindi tale condizione equivale a chiedere che l'eccesso poli-zeri della W(s) sia almeno pari all'eccesso poli-zeri del processo. 
2)  per quanto riguarda la Wz(s) ; il significato fisico di tale condizione è evidente : non si può chiedere ad un sistema di controllo di attenuare ( |Wz(s)|<1 ) gli effetti del rumore a tutte le frequenze.

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Sintesi diretta di un sistema di controllo a tempo continuo

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Sintesi diretta di un sistema di controllo a tempo continuo

I metodi di sintesi per tentativi si possono annoverare fra le tecniche "classiche" dei controlli automatici, orientate ai sistemi a tempo continuo e sviluppate quando le potenze di elaborazione dei calcolatori elettronici erano tali da far preferire strumenti grafici, come la carta di Nichols e il luogo delle radici , ad elevate moli di calcoli. 
Con la maggiore diffusione della progettazione assistita dal calcolatore , e soprattutto con il prevalere dei sistemi a controllo digitale diretto , queste tecniche hanno via via lasciato spazio a tecniche dirette , di carattere meno intuitivo e più algoritmico , come ad esempio il metodo delle equazioni diofantine che vedremo più avanti. Come conseguenza si è notata una maggiore diffusione delle tecniche dirette anche nella sintesi dei sistemi a tempo continuo : ne presenteremo ora una che si può utilizzare sotto opportune condizioni di fisica realizzabilità e che si articola nelle seguenti fasi : 
1) scelta , in base alle specifiche di progetto e alla funzione di trasferimento del processo da controllare , dello schema a blocchi complessivo e della funzione di trasferimento a ciclo chiuso desiderata ( ingresso/uscita e/o disturbo/uscita ) ;
2) calcolo della funzione di trasferimento del controllore G(s) e degli eventuali blocchi aggiuntivi H(s) ( blocco per la reazione dinamica ) o K(s) ( blocco per la compensazione diretta del disturbo ).

Va comunque sottolineato che , mentre la seconda fase è davvero puramente algoritmica, nella prima fase , una volta individuata la struttura della W(s) ( e/o della Wz(s) ) la ricerca dei parametri opportuni che soddisfino le specifiche di progetto può essere effettuata mediante aggiustamenti e verifiche progressive che ricordano molto da vicino la sintesi per tentativi.

Sintesi ad un grado di libertà

Se le specifiche di progetto riguardano esclusivamente il comportamento ingresso uscita , si può utilizzare uno schema a controreazione statica , che per semplicità considereremo unitaria , come quello indicato in figura 1.
Figura 1 : per la sintesi diretta ad un grado di libertà basta un sistema a retroazione statica
Sappiamo che fra funzione di trasferimento I/O a ciclo chiuso e funzione ad anello aperto sussiste la relazione :
, dove si è tenuto conto del fatto che la F(s) ingloba sia la f.d.t. del processo F(s) che quella del controllore G(s):
Il progettista non può agire , in generale , sulla P(s) del processo , e si limiterà quindi al calcolo della G(s) desiderata come :

Sintesi a due gradi di libertà

La G(s) calcolata col metodo precedente determina univocamente il comportamento ingresso uscita del sistema a ciclo chiuso , che sarà caratterizzato dalla funzione di trasferimento :
Se vi sono anche specifiche di progetto sul comportamento disturbo/uscita , ci si può trovare in due situazioni distinte :
  1) la Wz(s) ottenuta soddisfa , casualmente , le richieste sul comportamento rispetto ai disturbi
 
2) la Wz(s) non soddisfa le specifiche richieste. Ovviamente è questa la situazione generale , mentre la 1) è da ritenersi più che altro come un caso fortunato. In questo caso si deve passare dallo schema a retroazione statica ad uno schema più complesso , che fornisca al progettista i gradi di libertà necessari a soddisfare le due richieste indipendenti.
Una possibile soluzione consiste nell'introdurre , sul ramo di reazione , un blocco dinamico caratterizzato dalla f.d.t. H(s) , come indicato nello schema a blocchi di figura 2.
Figura 2 : una possibile soluzione , in presenza di specifiche sul comportamento rumore/uscita , consiste nell'introdurre dinamica sul ramo di reazione
Le funzioni di trasferimento a ciclo chiuso ingresso/uscita e disturbo/uscita , che dovranno essere imposte nella prima fase della sintesi , risultano pertanto :

Nella seconda fase non resta quindi che calcolare il controllore G(s) e il blocco di reazione H(s) che , combinati , danno luogo alla W(s) e alla Wz(s) desiderate:

Una soluzione alternativa consiste invece nell'adottare lo schema ibrido con compensazione diretta del disturbo z(s) , come mostrato in figura 3. La funzione di trasferimento del blocco di compensazione K(s) non entra nella relazione ingresso/uscita ( per la sovrapposizione degli effetti ) , quindi la G(s) si calcola come sopra , mentre per quanto riguarda la funzione di trasferimento disturbo/uscita si ha:
Pertanto , una volta calcolato il controllore a partire dalla W(s) desiderata, si aggiusta K(s) in modo che anche il comportamento rispetto al disturbo sia quello desiderato:

Figura 3 : per introdurre un grado di libertà il progettista può passare ad uno schema ibrido che preveda la compensazione diretta del disturbo

Limiti di applicazione della sintesi diretta

I limiti di questo metodo sono dovuti alla filosofia stessa della sintesi diretta , che agisce sulla funzione di trasferimento a ciclo chiuso senza tener conto delle caratteristiche del processo : è compito del progettista assicurarsi che la W(s) , assegnata per soddisfare le specifiche di progetto , sia compatibile con l'espressione della P(s) che si trova di fronte caso per caso. Nella sintesi per tentativi questo non può accadere perché si progetta "indirettamente" la W(s) , agendo sulla funzione di trasferimento in catena aperta F(s) che contiene al proprio interno la P(s) stessa. 
In termini pratici queste considerazioni danno luogo a due problemi distinti per il progettista:
1) problemi di fisica realizzabilità del controllore G(s)
2) presenza di un sottosistema non osservabile ma instabile ( instabilità interna ) nel sistema a ciclo chiuso , dovuto a cancellazioni di poli a parte reale positiva del processo.

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Fedeltà di risposta di un sistema di controllo rispetto ai disturbi

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Risposta a regime permanente di un sistema retroazionato a disturbi costanti

 
La trattazione della fedeltà di risposta rispetto ai disturbi agenti sul sistema può essere impostata in maniera formalmente analoga alla fedeltà rispetto agli ingressi di controllo. Basta infatti considerare, in luogo della funzione di trasferimento ingresso uscita  , la funzione di trasferimento disturbo/uscita  e tenere presente che l'uscita desiderata rispetto al disturbo è nulla (  ) : si vorrebbe infatti che il sistema di controllo fosse insensibile ai disturbi , che questi , cioè, non producessero alcun effetto sull'uscita. 
Ci si è quindi ricondotti a un sistema di controllo proporzionale con costante desiderata nulla ( Kzd=0 ) , che ci porta a considerare la seguente funzione di trasferimento per il sistema errore:
.
E' il caso di notare che la "proporzionalità" riguarda la relazione causa-effetto fra disturbo ed uscita e resta anche nel caso in cui , sul ramo di reazione , sia presente una dinamica H(s). Quanto verrà detto in seguito , quindi , varrà anche per sistemi che non hanno sul ramo di reazione un termine costante.
Per semplificare, però , non tratteremo il caso di disturbi polinomiali di grado k arbitrario , ma solo il caso di disturbi costanti , che possono essere visti come un polinomio canonico di ordine zero. Classificheremo quindi i sistemi di controllo in due categorie: 
1) sistemi di controllo astatici , se la risposta a regime rispetto al gradino è nulla. L'astatismo racchiude, in pratica , i sistemi di tipo uno , due, ecc, rispetto ai disturbi.
2) sistemi di controllo statici , se la risposta a regime rispetto al gradino tende a un valore costante non nullo. I sistemi statici sono sistemi di tipo zero rispetto al disturbo.
L'altra distinzione impostante che caratterizza la trattazione della fedeltà di risposta riguarda il punto di ingresso del rumore. Tratteremo sempre disturbi additivi e sistemi a controreazione , per cui la casistica prevede: 
a) disturbo additivo in uscita
b) disturbo additivo in catena diretta
c) disturbo additivo sul ramo di reazione
 

Risposta a regime per rumore additivo in uscita

Il punto di ingresso del disturbo nello schema complessivo è indicato in figura 1. In figura 2 è invece mostrato lo schema che viene utilizzato per il calcolo della Wz(s) : per la sovrapposizione degli effetti non si è considerato l'ingresso di controllo u(s).
Figura 1 : Lo schema considerato per valutare gli effetti di un rumore additivo in uscita Figura 2 : Lo schema considerato per il calcolo della funzione di trasferimento disturbo/uscita

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